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艾萨克·牛顿:数学与微积分

艾萨克·牛顿爵士

艾萨克·牛顿爵士(1643-1727)

在17世纪英国令人陶醉的气氛中,随着大英帝国的全面扩张,牛津和剑桥等古老的大学培养了许多伟大的科学家和数学家。但其中最伟大的无疑是艾萨克·牛顿爵士。亚搏.apk

物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家、炼金术士和神学家,牛顿被许多人认为是人类历史上最有影响力的人之一。他1687年出版的《自然哲学的数学原理》(通常简称为《原理》)被认为是科学史上最具影响力的书籍之一,在接下来的三个世纪里,它主导了对物理宇宙的科学观点。

虽然在今天的大众中,牛顿和大苹果的故事在很大程度上是同义词,但在所有数学家中,他仍然是一个巨人。亚搏.apk亚搏客户端官网下载阿基米德高斯),他极大地影响了后来的数学发展道路。

在1665-6年大瘟疫期间的两年时间里,年轻的牛顿发展了一种新的光理论,发现并量化了万有引力,开创了一种革命性的数学新方法:无穷小微积分。他的微积分理论是建立在他的英国同行约翰·沃利斯和艾萨克·巴罗的早期工作基础上的,同时也建立在一些欧洲大陆数学家的基础上亚搏.apk2021欧洲杯亚博 ,皮埃尔·德·费马,博纳文图拉·卡瓦列里,约翰·范·韦弗伦·哈德和吉勒·佩尔松·德·罗伯瓦尔。与对象的静态几何体不同希腊人微积分使数学家和工程师能够理解我们周围亚搏.apk不断变化的世界的运动和动态变化,例如行星的轨道、流体的运动等等。

曲线的平均斜率

微分(导数)近似于区间接近零时曲线的斜率

微分(导数)近似于区间接近零时曲线的斜率

牛顿面临的最初问题是,尽管表示和计算曲线的平均斜率(例如,时间-距离图上物体的增长速度)很容易,曲线的斜率是不断变化的,没有方法给出曲线上任何一个单独点的精确斜率,即该点处曲线切线的斜率。

直观地说,特定点的斜率可以通过取曲线中更小段的平均斜率(“上升超过行程”)来近似。当所考虑的曲线段在尺寸上接近于零时(即,曲线长度的微小变化x),然后计算的斜率越来越接近准确的斜率在某一点(见右图)。

牛顿(和他的同龄人)没有深入太多复杂的细节戈特弗里德莱布尼兹(独立地)计算一个导数函数F‘(x)它给出了函数任意点的斜率F(x)这种计算曲线或函数斜率或导数的过程称为微分学或微分学(或者,在牛顿的术语中称为“流动法”——他将曲线上某一点的瞬时变化率称为“流动”,以及xy例如,该类型直线的导数F(x) = 4x只是4;平方函数的导数F(x) =x2.是2x三次函数的导数F(x) =x3.是3x2.等。推广,任何幂函数的导数F(x) =xr接收r-1.对于指数函数、对数函数、三角函数,如sin(x),因为(x),等等,这样就可以为任何没有间断的曲线表示导数函数。例如,曲线的导数F(x) =x4.– 5x3.+罪(x2.)会是F’(x) = 4x3.- 15x2.+ 2xcos (x2.).

建立了特定曲线的导数函数后,就很容易计算该曲线上任何特定点的斜率,只需插入一个x。例如,在时间-距离图的情况下,该斜率表示对象在特定点的速度。

法毕

当样本的大小趋近于零时,积分近似于曲线下的面积

当样本的大小趋近于零时,积分近似于曲线下的面积

微分的“对立面”是积分或积分学(或者,用牛顿的术语来说,是水槽法微分和积分是微积分的两个主要运算。牛顿的微积分基本定理指出微分和积分是逆运算,因此,如果一个函数先积分,然后微分(反之亦然),则会检索原始函数。

曲线的积分可以看作是计算曲线和曲线所限定面积的公式x两个定义边界之间的轴。例如,在速度与时间的关系图上,面积“曲线下“表示行驶的距离。从本质上讲,积分是基于一个极限过程,该过程通过将曲线区域分解为无限薄的垂直板或柱来近似曲线区域的面积。与微分一样,积分函数可以用一般术语表示:任意幂的积分F(x) =xrxr+1r+1,还有其他指数函数、对数函数、三角函数等的积分函数,因此可以得到任意两个极限之间的任意连续曲线下的面积。

牛顿没有选择立即发表他的革命性的数学理论,他担心自己的非传统思想会遭到嘲笑,而满足于在朋友之间传播他的思想。毕竟,他还有很多其他的兴趣,比如哲学、炼金术和他在皇家铸币局的工作。然而,在1684年,德国人莱布尼茨发表了他自己的独立版本的理论,而牛顿直到1693年才发表了关于这个主题的任何文章。尽管英国皇家学会在经过适当的考虑后,将第一个发现归功于牛顿(并将第一个出版物归功于牛顿)莱布尼茨),当英国皇家学会随后对其进行的剽窃指控公之于众时,某种程度上出现了丑闻莱布尼茨实际上不是牛顿本人写的,这引发了一场持续的争论,损害了两人的事业。

广义二项式定理

在初始猜测后通过连续的相互作用来近似曲线的根的牛顿法

在初始猜测后通过连续的相互作用来近似曲线的根的牛顿法

尽管牛顿对数学的贡献最为人所知,但微积分绝不是他唯一的贡献。他被认为是广义二项式定理,它描述了二项式幂的代数展开式(一种具有两个项的代数表达式,如A.2.B2.);他对有限差分理论(形式的数学表达式)做出了重大贡献F(x+B) - - -F(x+A.))他是最早使用分数指数和坐标几何导出丢番图方程(仅含整数变量的代数方程)解的人之一;他发展了所谓的“牛顿法”为了找到一个函数的零点或根的连续更好的近似值;他是第一个以任何置信度使用无穷幂级数的人;等等。

在里面1687,牛顿出版了他的「原理”或“自然哲学的数学原理,是公认的最伟大的科学著作。在这本书中,他提出了自己的运动、引力和力学理论,解释了彗星的偏心轨道、潮汐及其变化、地轴的进动和月球的运动。

在以后的生活中,他写了许多宗教大片处理圣经的字面解释,投入了大量的时间炼金术,作为国会议员多年,并成为也许最著名的皇家造币厂硕士1699年,直到1727年去世。1703年,他被任命为皇家学会主席。1705年,他成为第一位被封为爵士的科学家。由于炼金术而导致的汞中毒也许可以解释牛顿晚年的古怪行为,以及他最终的死亡。


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