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艾萨克·牛顿:数学和微积分

艾萨克·牛顿爵士

艾萨克·牛顿爵士(1643-1727)

在17世纪英国令人兴奋的气氛中,大英帝国的扩张如火如荼,牛津和剑桥这样的古老名校培养出了许多伟大的科学家和数学家。亚搏.apk但其中最伟大的无疑是艾萨克·牛顿爵士。

物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家、炼金术士和神学家,牛顿被许多人认为是人类历史上最有影响力的人之一。他在1687年出版的《自然哲学的数学原理》(通常简称为《原理》)被认为是科学史上最有影响力的书籍之一,在接下来的三个世纪里,它主导了科学对物理宇宙的看法。

尽管在今天的大众心目中,牛顿与万有引力和苹果树的故事在很大程度上是同义词,但在世界各地的数学家心目中,牛顿仍然是一个巨人(与历史上最伟大的数学家相提并论)亚搏.apk亚搏客户端官网下载阿基米德而且高斯),他极大地影响了后来数学发展的道路。

在1665年至1665年的大瘟疫期间,在神奇的两年里,年轻的牛顿发展了一种新的光理论,发现并量化了万有引力,开创了一种革命性的数学新方法:无穷小微积分。他的微积分理论建立在他的英国同胞约翰·沃利斯和艾萨克·巴罗的早期工作,以及欧洲大陆数学家的工作的基础上亚搏.apk勒奈·笛卡尔皮埃尔·费马, Bonaventura Cavalieri, Johann van Waveren Hudde和Gilles Personne de Roberval。不像静态几何的希腊人微积分使数学家和工程师能够理解我们周围亚搏.apk不断变化的世界中的运动和动态变化,例如行星的轨道,流体的运动等。

曲线的平均斜率

微分(导数)近似于曲线在区间趋于零时的斜率

微分(导数)近似于曲线在区间趋于零时的斜率

牛顿最初遇到的问题是,尽管表示和计算曲线的平均斜率很容易(例如,在时间-距离图上物体的速度递增),但曲线的斜率是不断变化的,没有方法可以给出曲线上任何一个单独点的确切斜率,即该点切线的斜率。

直观地说,在某一点上的斜率可以通过取曲线上更小段的平均斜率(“上升除以下降”)来近似。当被考虑的曲线段在尺寸上接近于零时(即在尺寸上的无限小的变化)x),则斜率的计算越来越接近于某一点的确切斜率(见右图)。

在不涉及太多复杂细节的情况下,牛顿(和他同时代的人)戈特弗里德莱布尼兹独立地)计算了一个导数函数f”(x)给出函数任意点的斜率fx).这种计算曲线或函数的斜率或导数的过程被称为微分或微分(或者,在牛顿的术语中,“通量法”——他把曲线上某一点的瞬时变化率称为“通量”,而变化的值x而且y“毕”)。例如,这种类型的直线的导数fx) = 4x等于4;平方函数的导数fx) =x2是2x;三次函数的导数fx) =x3.是3x2等。广义上,任意幂函数的导数fx) =xr处方r-1.其他的导数函数可以按照一定的规则表示,如指数函数和对数函数,三角函数如sin(x),因为(x)等,使导数函数可以表示为任何没有不连续的曲线。例如,曲线的导数fx) =x4- 5x3.+罪(x2)将是f”(x) = 4x3.- 15x2+ 2xcos (x2).

建立了特定曲线的导数函数后,计算曲线上任意一点的斜率就很容易了,只需插入一个值x.例如,在时间-距离图的情况下,这个斜率表示物体在特定点的速度。

分流方法

当样本的大小接近于零时,积分近似于曲线下的面积

当样本的大小接近于零时,积分近似于曲线下的面积

微分的“对立面”是积分或积分演算(或者,用牛顿的术语来说,是“分流方法),微分和积分是微积分的两个主要操作。牛顿微积分基本定理指出,微分和积分是逆运算,因此,如果一个函数先积分,然后微分(反之亦然),原始函数就会被找回。

曲线的积分可以看作是计算曲线和曲线边界面积的公式x两个定义边界之间的轴。例如,在速度与时间的关系图上,“曲线下表示行进的距离。从本质上讲,积分是基于一个极限程序,它通过将一个曲线区域分解成无限小的垂直板或柱来近似它的面积。与微分一样,积分函数可以用一般的形式表示:任意次幂的积分fx) =xrxr+1r+1,对于指数函数、对数函数、三角函数等,还有其他积分函数,因此可以求任意两个极限之间任意连续曲线下的面积。

牛顿选择不立即发表他的革命性的数学,因为他担心自己的非常规思想会被嘲笑,他满足于在朋友中传播他的思想。毕竟,他还有很多其他的兴趣爱好,比如哲学、炼金术和他在皇家铸币厂的工作。然而,在1684年,德国人莱布尼茨他发表了自己的独立版本的理论,而牛顿直到1693年才发表了关于这个主题的任何文章。尽管经过慎重考虑,皇家学会将第一个发现归功于牛顿(并将第一次发表归功于牛顿)莱布尼茨),当英国皇家学会随后指控抄袭的消息被公之于众时,一桩丑闻就产生了莱布尼茨实际上并不是牛顿本人写的,这引起了一场持续的争议,损害了两人的职业生涯。

广义二项式定理

牛顿的一种方法,在初始猜测后通过连续的相互作用来近似曲线的根

牛顿的一种方法,在初始猜测后通过连续的相互作用来近似曲线的根

尽管微积分是迄今为止牛顿对数学最著名的贡献,但它绝不是牛顿唯一的贡献。他被认为是广义二项式定理,它描述了二项式幂的代数展开式(有两个项的代数表达式,如一个2- - - - - -b2);他对有限差分理论(数学表达式的形式)做出了实质性的贡献fx+b) - - -fx+一个));他是第一个使用分数指数和坐标几何来推导丢番图方程(只有整数变量的代数方程)解的人之一;他发明了所谓的“牛顿法”,用来不断地寻找一个函数的零点或根的更好近似值;他是第一个自信地使用无限幂级数的人;等。

1687,牛顿发表了他的《原理或"自然哲学的数学原理,被公认为有史以来最伟大的科学书籍。在这本书中,他提出了他的运动理论、引力理论和力学理论,解释了彗星的偏心轨道、潮汐及其变化、地轴的进动和月球的运动。

晚年,他写了许多宗教小册子,涉及圣经的字面解释,在炼金术上投入了大量时间,担任了几年的国会议员,1699年成为可能是最著名的皇家造币厂的主人,他一直担任这个职位直到1727年去世。1703年,他被任命为英国皇家学会会长,1705年,他成为第一位被封为爵士的科学家。在炼金术的追求中汞中毒也许解释了牛顿晚年的古怪行为,也可能解释了他最终的死亡。


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