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伯努利兄弟,数学世家

雅各布和约翰·伯努利

雅各布(1654-1705)和约翰·伯努利(1667-1748)

这在数学史上是不寻常的单身家庭,伯努利在17世纪末18世纪初的几代人的时间里,这里培养出了六位杰出的数学家。亚搏.apk

伯努利家族是一个富裕的商人和学者家庭,他们来自瑞士的自由城市巴塞尔,当时那里是中欧的商业中心。然而,雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)和约翰·伯努利(Johann Bernoulli)兄弟却不顾父亲的意愿,开始一起学习数学。

约翰毕业于巴塞尔大学,两人发展出一种相当嫉妒和竞争的关系。约翰尤其嫉妒老雅各布在巴塞尔大学(Basel University)担任教授的职位,两人经常试图超越对方。在雅各布因肺结核早逝后,约翰接替了他哥哥的位置,他的一个年轻学生成为了伟大的瑞士数学家2020年亚博收网行动 .然而,约翰只是把他的嫉妒转向了他有才华的儿子丹尼尔(有一次,约翰出版了一本以丹尼尔的作品为基础的书,甚至把日期改得好像他的书比他儿子的还早)。

然而,当他的学生纪尧姆·德·l·'Hôpital以他的名字出版了一本书,几乎全是约翰的讲课内容,包括他现在著名的关于0 ÷ 0的规则(这个问题从那时起就一直困扰着数学家)时,约翰也尝到了自食其果亚搏.apkBrahmagupta早在7世纪,科学家就开始研究处理“零”的规则。这表明0 ÷ 0不等于0,不等于1,不等于无穷,甚至不是无定义的,而是“不确定的”(意思是它可以等于任何数字)。这个规则通常被称为l'Hôpital规则,而不是伯努利规则。

尽管他们的个人关系充满了竞争和争斗,但兄弟俩在数学方面都有很高的天赋,并经常互相挑战和激励。他们很早就和戈特弗里德莱布尼兹他是第一批不仅研究和理解微积分,而且将其应用于各种问题亚搏.apk的数学家之一。它们在传播新发现的微积分知识方面发挥了重要作用,并帮助它成为今天的数学基石。

最速降线问题

伯努利首先利用变分法推导出了臂时曲线

伯努利首先利用变分法推导出腕时曲线

但他们不仅仅是莱布尼茨,他们也作出了自己的重要贡献。当时他们致力于解决的一个众所周知的热门问题是设计一个倾斜的坡道,让球在尽可能快的时间内从顶部滚到底部。约翰·伯努利用微积分证明了这一点,无论是连续坡道或弧形斜坡与一个非常陡峭的初始斜率是最优的,但实际上不那么陡峭的曲线斜坡称为最速降线曲线(一种倒摆线,类似于路径上的一个点移动车轮)的曲线下降最快。

这个应用程序是“变分法,这是伯努利兄弟共同开发的一种无极微积分的概括,自那以后被证明在工程、金融投资、建筑和建筑,甚至太空旅行等各个领域都很有用。约翰还推导出了悬链线的方程,就像悬挂在两根柱子之间的链条所形成的曲线,这是他的哥哥雅各布给他的问题。

猜想的艺术:T里亚尔、分布、数量

伯努利数

伯努利数

Jacob Bernoulli的书猜想的艺术,巩固了现有的关于概率论和期望值的知识,同时也增加了他的个人贡献,比如他的排列和组合理论,伯努利试验伯努利分布,以及数论的一些重要元素,如伯努利数序列.他还发表了关于超越曲线的论文,并成为第一个发展求解可分离微分方程(非线性但可解的微分方程现在以他的名字命名)的人。他发明了极坐标(一种利用角度和距离描述点在空间中的位置的方法),并第一个使用“积分”一词来指代曲线下的面积。

雅各伯努利发现无理数的近似值e同时探索贷款的复利。当以每年100%的利息复利时,1美元在一年后变成2美元;当每半年复利一次时,它产生2.25美元;每季度2.44美元加剧;每月2.61美元;每周2.69美元;每日2.71美元;等。如果它连续复利,1美元将趋向于2.7182818美元的价值,一年后,这个价值被称为e.在代数上,它是无穷级数(1 +)的值111(1 +。122(1 +。13.3.(1 +。144...

约翰的儿子尼古拉斯、丹尼尔和约翰二世,甚至他的孙子雅各布二世和约翰三世,都是杰出的数学家和教师。亚搏.apk尤其是丹尼尔·伯努利,他在流体力学(尤其是关于流体或气体的速度和压力反向关系的伯努利原理)方面的工作,以及在概率和统计方面的工作都很出名。


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