横幅

十九世纪数学

用傅立叶级数逼近周期函数

用傅立叶级数逼近周期函数

19世纪在广度和广度上都有了前所未有的增长数学概念的复杂性.18世纪末,法国和德国都处在席卷欧洲的革命时代,但两国对待数学的方式却截然不同。

法国大革命拿破仑强调数学的实用性,他的改革和军事野心给法国数学带来了巨大的发展,如“三个L”,拉格朗日,拉普拉斯和勒让德十八世纪数学),傅立叶和伽罗瓦。

约瑟夫傅里叶的研究在19世纪初,数学分析的另一项重要进展是,将无穷和的各项为三角函数。周期函数可以表示为无穷正弦和余弦级数的和,今天被称为傅里叶级数,它们仍然是纯数学和应用数学中的强大工具。傅里叶(后莱布尼茨2020年亚博收网行动 、拉格朗日等)也有助于定义什么是一个函数,虽然今天发现文本的定义,定义它的元素之间的对应关系的领域和范围,通常认为是19世纪德国数学家彼得狄利克雷。

1806年,让-罗伯特·阿甘发表了他关于复数(a + b)的论文,在那里√-1)可以在几何图上表示,并使用三角函数和向量进行操作。尽管丹麦人卡斯帕·韦塞尔在18世纪末发表了一篇非常相似的论文,尽管它是高斯推广了这一实践的人,他们今天仍然被称为阿根图。

法国人Evariste伽罗瓦后来证明了1820年代没有一般的代数方法来解决任何大于四次的多项式方程,这比挪威的尼尔斯·亨里克·阿贝尔走得更远,就在几年前,他证明了解决五次方程是不可能的,打破了存在了几个世纪的僵局。伽罗瓦这项工作也为抽象代数领域的进一步发展奠定了基础,包括代数几何、群论、环、场、模、向量空间和非交换代数等领域。

另一方面,在伟大的教育家威廉·冯·洪堡的影响下,德国采取了一种截然不同的方法,支持纯数学是为了它自己,脱离了国家和军队的要求。正是在这种环境下,这位年轻的德国神童卡尔•弗里德里希•高斯他有时被称为“数学王子”,在著名的Göttingen大学接受教育。一些高斯这些思想超前了他们的时代一百年,涉及到数学世界的许多不同领域,包括几何、数论、微积分、代数和概率论。他被广泛认为是有史以来最伟大的三个数学家之一亚搏.apk88亚博 牛顿

欧几里得,双曲和椭圆几何

欧几里得,双曲和椭圆几何

在以后的生活中,高斯还声称已经调查了a非欧几里得几何他使用了弯曲的空间,但不愿引起争议,他决定不追求或发表任何这些前卫的想法。这就为Janos Bolyai尼古拉Lobachevsky(分别是匈牙利人和俄罗斯人),他们都独立探索了双曲几何和弯曲空间的潜力。

德国Bernhard黎曼研究另一种叫做椭圆几何的非欧几里得几何,以及所有不同几何类型的广义理论。黎曼然而,他很快就更进一步,完全摆脱了二维和三维几何学的所有限制,无论是平面的还是曲面的,并开始在更高的维度上思考。他探索ζ函数的多维复杂的数字显示与素数的分布,一个意想不到的联系和他著名的黎曼假设,仍未经证实的150年后,仍然是世界上最大的尚未解决的数学奥秘和新一代的数学家的试验场。亚搏.apk

英国数学在早期和中期也看到了一些复苏19世纪.尽管计算机的起源要追溯到齿轮计算器2020年亚博论坛 莱布尼茨在17世纪,英国19世纪的查尔斯·巴贝奇(Charles Babbage)设计了一种机器,可以根据存储在卡片或磁带上的指令程序自动进行计算。他的大“差分机1823能够计算对数和三角函数,是现代电子计算机真正的先驱。尽管在他的一生中从未真正建造过一台机器,但在大约200年后,按照他的规格建造了一台机器,而且运转完美。他还设计了一种更复杂的机器,他称之为分析引擎,具备与现代计算机相当的穿孔卡片、打印机和计算能力。

另一个19世纪英国人乔治孔雀人们通常认为,他发明了符号代数,并将代数的范围扩展到普通数字系统之外。对非算术代数可能存在的认识是抽象代数未来发展的重要基石。

19世纪中期,英国数学家乔治·布尔设计了一种代数(现在称为布尔代数或布尔逻辑),其中唯一的运算符是AND、or和NOT,可以用于解决逻辑问题和数学函数。他还描述了一种二元系统,它只使用两个物体,“开”和“关”(或“真”和“假”,0和1,等等),其中,1 + 1 = 1,这一点很著名。布尔代数是现代数学逻辑的起点,并最终推动了计算机科学的发展。

汉密尔顿的四元数

汉密尔顿的四元数

数和代数的概念被进一步扩展爱尔兰数学家威廉·汉密尔顿,他的1843四元数理论(一种四维数字系统,其中表示三维旋转的量可以只用一个角度和一个向量来描述)。四元数,以及后来由Hermann Grassmann推广的四元数,提供了非交换代数的第一个例子(即一个xb并不总是等于bx一个),并证明可以通过选择不同的公理集来推导出几个不同的相容代数。

英国人阿瑟·凯莱扩展了哈密尔顿的四元数,发展了八元数。但是Cayley是历史上最多产的数学家之一,也是现代群论、矩阵代数、高维几何和高亚搏.apk维几何的先驱(预见了Klein后来的思想),以及不变量理论。

整个19世纪,数学总体上变得越来越复杂和抽象。但它也看到了一些旧方法的重新访问和对数学严谨性的强调。在本世纪的头几十年,波西米亚牧师Bernhard Bolzano是最早将严谨引入数学分析的数学家之一,同时也是第一个对代数基本定理和中值定理进行纯分析证明的人,亚搏.apk尽早考虑集合(由公共属性定义的对象集合,例如“所有大于7的数”或“所有的直角三角形”等)。当德国数学家卡尔·维尔斯特拉斯发现的理论存在一个连续函数没有导数(换句话说,一个连续曲线具有没有在任何点的切线),他看到需要一个严格的“算术化”的微积分,而所有的基本概念分析可以派生。

随着黎曼特别是法国人奥古斯丁-路易·柯西,维尔斯特拉斯完全用一种更严格的方式重新定义了微积分,导致了数学分析的发展,纯数学的一个分支,主要研究极限的概念(无论是数列的极限还是函数的极限),以及微分、积分、无穷级数和解析函数的理论。1845年柯西还证明了群论的基本定理——柯西定理,这是他在考察置换群时发现的。卡尔·雅可比也在分析、行列式和矩阵方面做出了重要贡献,特别是他的周期函数和椭圆函数理论以及它们与椭圆函数的关系。

不可定向的表面,没有可识别的“内”和“外”边

不可定向的表面,没有可识别的“内”和“外”边

8月费迪南德莫比乌斯最有名的是他的1858发现了Möbius条形图,这是一个不可定向的二维平面,嵌入三维欧几里得空间时只有一面(实际上,德国人约翰·本尼迪克特·Listing在Möbius之前的几个月就设计出了同样的物体,但现在它有了Möbius的名字)。其他许多概念也以他的名字命名,包括Möbius构型、Möbius变换、数论的Möbius变换、Möbius函数和Möbius倒换公式。他还介绍了齐次坐标,并讨论了几何和射影变换。

菲利克斯•克莱因也在非欧几里得几何学上取得了更多的进展,包括克莱因瓶,一个不能嵌入三维欧几里得空间,只能嵌入四维或更多维空间的单边封闭曲面。它最直观的形象是一个圆柱体,通过自身循环,从“内部”与另一端连接。克莱因1872年的埃尔兰根计划他通过潜在的对称群(或变换群)来对几何进行分类,他是当时许多数学领域具有巨大影响的综合,他的工作对后来的群论和函数论的发展非常重要。

挪威数学家马利厄斯·索福斯·列也将代数应用到几何学的研究中。他在很大程度上创造了连续对称理论,并将其应用于微分方程的几何理论,通过连续的变换群,即李群。

在一个不寻常的事件中1866年,一个不知名的16岁意大利人,Niccolò帕格尼尼发现了第二小的一对友好数字(1184和1210),这两个数字被历史上一些最伟大的数学家完全忽视了(包括亚搏.apk2020年亚博收网行动 ,他已经确认了超过60个这样的数字18世纪,有些是巨大的)。

19世纪以后,Georg康托尔建立了集合理论的第一个基础,使得对无限概念的严格处理成为可能,并且从此成为几乎所有数学的通用语言。面对大多数同代人的强烈抵抗和他自己与精神疾病的斗争,康托尔探索了新的数学世界,那里有许多不同的无穷大,有些无穷大比另一些更大。

维恩图解

维恩图解

康托尔另一位德国人Richard Dedekind对集合理论进行了扩展,他定义了类似集和无限集等概念。Dedekind还提出了一个概念,现在叫做Dedekind切法这是实数的标准定义。他证明了任何无理数将有理数分成两个类或集合,上层阶级严格大于其他下层阶级的所有成员。因此,数轴连续体上的每个位置都包含有理数或无理数,没有空的位置、间隙或不连续。1881年,英国人约翰·文恩提出了他的"文恩图"这在集合理论中是有用和普遍的工具。

基础上黎曼他对质数分布的深刻见解,就在这一年1896看到了素数分布的渐近定律(称为素数定理)的两个独立证明,一个是雅克·阿达玛(Jacques Hadamard)的,另一个是查尔斯·德拉Vallée·普桑(Charles de la Vallée Poussin)的,它们证明了任何数都有质数x渐近于(或趋向于)x日志x

闵可夫斯基时空

闵可夫斯基时空

赫尔曼·闵可夫斯基,我的好朋友大卫希尔伯特他在19世纪末发展了数论的一个分支,称为“数的几何”,作为在多维空间中解决数论问题的几何方法,这些问题涉及复杂的概念,如凸集、格点和向量空间。之后,1907年,正是闵可夫斯基发现了爱因斯坦1905年的特殊理论相对论可以在四维空间中得到最好的理解,四维空间通常被称为闵可夫斯基时空。

Gottlob Frege 1879年的《Begriffsschrift》(大致翻译为“概念脚本”)在逻辑领域开辟了新的领域,包括对函数和变量思想的严格处理。在他试图证明数学源于逻辑的过程中,他设计了一些技巧,这些技巧使他远远超越了亚里士多德(甚至超越了)的逻辑传统乔治·布尔).他是第一个明确地在逻辑陈述中引入变量的概念,以及量词的概念,普遍性和存在性的概念。他扩展布尔这样,就为朱塞佩·皮亚诺的激进进步奠定了基础,伯特兰·罗素大卫希尔伯特在20世纪初。

亨利。庞加莱在19世纪后半叶崭露头角,至少部分解决了三体问题,这个看似简单的问题自公元5世纪以来一直顽固地拒绝得到解决牛顿美国的历史比美国早了200多年。尽管他的解决方案实际上被证明是错误的,但它的含义导致了后来被称为混沌理论的早期暗示。在他在理论物理方面的重要工作之间,他还极大地扩展了数学拓扑理论,留下了一个棘手的问题,称为Poincaré猜想,直到2002年还没有解决。

庞加莱他也是一名工程师和博学多才,也许是最后一位坚持旧数学概念的伟大数学家,支持对人类直觉的信仰,而不是严格和形式主义。亚搏.apk他有时被称为"去年Univeralist因为他可能是最后一位能够在这个庞大的、百科全书式的、复杂得令人难以置信的学科的各个方面都大放异彩的数学家。的20世纪将属于专家。


2020年亚博收网行动

转到伽罗瓦,>>

Baidu