19世纪数学

用傅里叶级数近似周期函数

的19世纪在广度和数学概念的复杂性．18世纪晚期，法国和德国都经历了席卷欧洲的革命，但这两个国家对待数学的态度却截然不同。

后法国大革命拿破仑强调数学的实用价值，他的改革和军事野心极大地推动了法国数学的发展，例如“三个L”，拉格朗日，拉普拉斯和勒让德(见下文)18世纪数学)、傅里叶和伽罗瓦。

约瑟夫·傅里叶的研究在19世纪初，数学分析的另一个重要进展是，在无穷和中，项是三角函数。可以表示为正弦和余弦无穷级数的周期函数今天被称为傅立叶级数，它们仍然是纯数学和应用数学中强大的工具。傅里叶(后莱布尼茨，2020年亚博收网行动 拉格朗日和其他人)也对定义函数的确切含义做出了贡献，尽管今天在文本中找到的定义-根据域和值域之间的元素之间的对应关系来定义它-通常归因于19世纪的德国数学家彼得·狄利克雷。

1806年，让·罗伯特·阿甘他发表了一篇关于复数(a + b)的论文我,在那里我Is√-1)可以表示在几何图形上，并使用三角函数和向量进行操作。尽管丹麦人卡斯帕·韦塞尔在18世纪末发表了一篇非常相似的论文，尽管它是高斯他推广了这种做法，直到今天，他们仍然被称为阿根图。

法国人Evariste伽罗瓦后来证明了1820年代这比挪威人尼尔斯·亨里克·阿贝尔(Niels Henrik Abel)走得更远，他在几年前证明了求解五次方程是不可能的，打破了存在了几个世纪的僵局。伽罗瓦他的工作也为抽象代数领域的进一步发展奠定了基础，包括代数几何、群论、环、场、模、向量空间和非交换代数等领域。

另一方面，在伟大的教育家威廉·冯·洪堡(Wilhelm von Humboldt)的影响下，德国采取了一种截然不同的方法，为了纯数学本身而支持纯数学，脱离了国家和军队的要求。正是在这种环境下，这位年轻的德国天才卡尔·弗里德里希·高斯他在著名的Göttingen大学接受教育，有时被称为“数学王子”。一些高斯他的思想超前了100年，涉及数学世界的许多不同领域，包括几何、数论、微积分、代数和概率论。他被广泛认为是有史以来最伟大的三个数学家之一，还有亚搏.apk88亚博 而且牛顿．

欧几里得，双曲和椭圆几何

后来，高斯亦名自称已经调查过了一种非欧几里得几何他使用了弯曲的空间，但不愿引起争议，他决定不追求或发表任何这些前卫的想法。这就为Janos Bolyai而且尼古拉Lobachevsky(分别是匈牙利人和俄罗斯人)，他们都独立地探索了双曲几何和弯曲空间的潜力。

德国Bernhard黎曼他研究了另一种非欧几里得几何，即椭圆几何，以及所有不同类型几何的广义理论。黎曼然而，他很快就把这个问题进一步推进了，他完全摆脱了二维和三维几何的所有限制，无论是平面的还是弯曲的，他开始思考更高维度的问题。他对多维复数中的ζ函数的探索揭示了与质数分布之间的一种意想不到的联系，而他著名的黎曼假设，在150年后仍未得到证实，仍然是世界上最大的未解数学之谜之一，也是新一代数学家的试验场。亚搏.apk

英国数学在早期和中期也看到了一些复苏19世纪．虽然计算机的根源可以追溯到齿轮计算器2020年亚博论坛 而且莱布尼茨在17世纪，英国的查尔斯·巴贝奇设计了一种机器，这种机器可以根据存储在卡片或纸带上的指令程序自动进行计算。他的大“差分机”1823能够计算对数和三角函数，是现代电子计算机真正的先驱。尽管在他的有生之年从未真正制造出来，但在近200年后，人们按照他的规格制造出了一台机器，而且运行良好。他还设计了一种更为复杂的机器，他称之为分析引擎，配有穿孔卡片、打印机和与现代计算机相当的计算能力。

另一个19世纪英国人乔治孔雀他通常被认为是符号代数的发明，并将代数的范围扩展到普通的数字系统之外。这种对非算术代数可能存在的认识，是抽象代数未来发展的重要踏脚石。

在19世纪中叶，英国数学家乔治·布尔设计了一种代数(现在称为布尔代数或布尔逻辑)，其中唯一的运算符是AND, or和NOT，并且可以应用于逻辑问题和数学函数的解决。他还描述了一种二元系统，只使用两个对象，“开”和“关”(或“真”和“假”，0和1，等等)，其中著名的是1 + 1 = 1。布尔代数是现代数学逻辑的起点，并最终导致了计算机科学的发展。

汉密尔顿的四元数

数和代数的概念被进一步扩展爱尔兰数学家威廉·汉密尔顿,他的1843四元数理论(一种四维数系统，其中一个表示三维旋转的量可以用一个角度和一个向量来描述)。四元数及其后来由赫尔曼·格拉斯曼(Hermann Grassmann)推广，提供了非交换代数的第一个例子一个xb并不总是相等的bx一个)，并证明了选择不同的公理集可以导出几个不同的一致代数。

的英国人亚瑟·凯利扩展了汉密尔顿的四元数并发展了八元数。但Cayley是历史上最多产的数学家之一，是现代群论、矩阵代数、高奇异点理论、高亚搏.apk维几何(预见了Klein后来的想法)以及不变量理论的先驱。

在整个19世纪，数学总体上变得越来越复杂和抽象。但它也看到了对一些旧方法的重新审视和对数学严谨性的强调。在本世纪的头几十年里，波西米亚牧师伯恩哈德·博尔扎诺(Bernhard Bolzano)是最早开始将严格性灌输到数学分析中的数学家之一，并给出了代数基本定理和中间值定理的第一个纯分析证明，以及早期亚搏.apk对集合(由一个共同性质定义的对象的集合，如“所有大于7的数或"好的三角形”等)。当德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯(Karl Weierstrass)发现无导数连续函数的理论存在时(换句话说，连续曲线在其任何点上都没有切线)，他看到了对微积分的严格“算术化”的需要，所有分析的基本概念都可以由此推导出来。

随着黎曼特别是法国人奥古斯丁-路易·柯西，魏尔斯特拉斯以一种更加严格的方式完全重新制定了微积分，导致了数学分析的发展，这是纯数学的一个分支，主要涉及极限的概念(无论是一个序列的极限还是一个函数的极限)，以及微分、积分、无穷级数和解析函数的理论。1845年柯西还证明了他在研究排列群时发现的群论基本定理——柯西定理。卡尔·雅可比在分析、行列式和矩阵方面也做出了重要贡献，特别是他的周期函数和椭圆函数理论以及它们与椭圆theta函数的关系。

没有可识别的“内”和“外”边的不可定向表面

八月费迪南德Möbius最出名的是他的1858Möbius条带的发现，一个不可定向的二维表面，当嵌入三维欧几里得空间时，它只有一面(实际上是一个德国人，约翰·本尼迪克特·利斯特，在Möbius之前几个月设计了同样的物体，但它已经拥有了Möbius的名字)。许多其他概念也以他的名字命名，包括Möbius配置、Möbius变换、数论的Möbius变换、Möbius函数和Möbius反演公式。他还介绍了齐次坐标，讨论了几何变换和射影变换。

菲利克斯•克莱因他还在非欧几里得几何方面取得了更多的发展，包括克莱因瓶，这是一种单面封闭表面，不能嵌入三维欧几里得空间，只能嵌入四维或多维空间。最好把它想象成一个圆柱体，从内部连接到另一端。克莱因1872年的埃尔兰根计划他根据几何的基本对称群(或它们的变换群)对几何进行分类，是当时许多数学的巨大影响的综合，他的工作在后来的群论和函数论的发展中非常重要。

的挪威数学家马吕斯·索福斯·李还将代数应用于几何研究。他在很大程度上创造了连续对称理论，并通过称为李群的连续变换群将其应用于微分方程的几何理论。

在一次不寻常的事件中1866年，一个不知名的16岁意大利人，Niccolò帕格尼尼他发现了第二最小的一对友好数字(1184和1210)，这被历史上一些最伟大的数学家(包括数学家)完全忽视了亚搏.apk2020年亚博收网行动 ，他曾在18世纪，其中一些是巨大的)。

在19世纪后期，Georg康托尔建立了集合论的第一个基础，使得对无穷大概念的严格处理成为可能，并从此成为几乎所有数学的通用语言。面对大多数同时代人的强烈抵制和他自己与精神疾病的斗争，康托尔探索新的数学世界，在那里有许多不同的无穷大，其中一些比另一些更大。

维恩图解

康托尔他在集合论方面的工作被另一位德国人理查德·戴德金(Richard Dedekind)扩展，他定义了类似集和无限集等概念。Dedekind还提出了这个概念，现在叫做Dedekind cut这是实数的一个标准定义。他证明了任何无理数都可以将有理数分为两类或两组，上层的有理数严格大于其他下层的所有成员。因此，数轴连续体上的每个位置都包含有理数或无理数，没有空位置、间隙或不连续。1881年，英国人约翰·维恩提出了他的“维恩图”。它们成为集合论中非常有用且无处不在的工具。

基础上黎曼他对质数分布的深刻见解，即年1896看到了两个关于质数分布的渐近定律的独立证明(被称为质数定理)，一个是雅克·阿达玛尔的，一个是查尔斯·德拉Vallée普桑的，它表明出现在任何数字上的质数的数量x渐近于(或趋向于)^x⁄_日志x．

闵可夫斯基时空

赫尔曼·闵可夫斯基，他的好朋友大卫希尔伯特他在19世纪晚期发展了数论的一个分支，称为“数的几何”，作为在多维空间中解决数论问题的几何方法，涉及诸如凸集、格点和向量空间等复杂概念。之后,1907年，闵可夫斯基发现了爱因斯坦1905年的特殊理论最能理解相对论的是四维空间，通常被称为闵可夫斯基时空。

Gottlob Frege 1879年的《Begriffsschrift》(大致翻译为“概念-脚本”)在逻辑领域开辟了新天地，包括对函数和变量思想的严格处理。在他试图证明数学是由逻辑发展而来的过程中，他设计了一些技术，这些技术使他远远超越了亚里士多德的逻辑传统乔治·布尔)．他是第一个明确地在逻辑语句中引入变量的概念，以及量词、共相和存在的概念。他扩展布尔的“命题逻辑”转变为新的“谓词逻辑”，这样就为朱塞佩·皮亚诺的激进进步奠定了基础，伯特兰·罗素而且大卫希尔伯特在20世纪初。

亨利。庞加莱在19世纪后期崭露头角，至少部分解决了“三体问题，这是一个看似简单的问题，自牛顿早在两百多年前。虽然他的解决方案实际上被证明是错误的，但它的含义导致了后来被称为混沌理论的早期暗示。在他在理论物理学的重要工作中，他还极大地扩展了数学拓扑理论，留下了一个被称为Poincaré猜想的棘手问题，直到2002年才得到解决。

庞加莱他还是一名工程师和博学多才，也许是最后一个坚持古老数学概念的伟大数学家，这种概念倡导人类直觉的信仰，而不是严格和形式主义。亚搏.apk他有时被称为"去年Univeralist，因为他可能是最后一位能够在这个庞大的、百科全书式的、极其复杂的学科的几乎所有方面都表现出色的数学家。的20世纪应该属于专家。

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