格奥尔格·康托，集合论的创始人

传记

乔治·康托(1845-1918)

的德国人康托尔他是一位杰出的小提琴家，但更杰出的数学家。他出生在俄罗斯圣彼得堡，11岁之前一直住在那里。此后，一家人搬到德国，康托尔在达姆斯特拉特、Zürich、柏林和(几乎不可避免地)Göttingen接受了剩余的教育，然后结婚并定居在哈雷大学，在那里度过了他的余生。

他在34岁时就被任命为哈雷大学的正教授，这是一个显著的成就，但他想去柏林等更有声望的大学的雄心在很大程度上受到了利奥波德·克罗内克的阻挠。克罗内克是数学界的知名人物，也是康托的前教授，他从根本不同意康托的工作内容。

无限的意义

康托的前十篇论文是关于数论的，之后他将注意力转向微积分(或当时被称为分析学)，解决了一个棘手的开放问题，即用三角级数表示函数的唯一性。然而，他的主要遗产可能是他是第一个真正理解无穷意义的数学家并赋予它数学上的精确性。

早在17世纪，伽利略就曾试图面对无限的概念，以及通过比较不同的无穷大而产生的明显矛盾，但最终回避了这个问题。

他证明了在所有自然数和所有自然数的平方到无穷之间可以画出一对一的对应关系，这表明，尽管直观上很明显，有许多整数不是平方，这个概念后来被称为伽利略的悖论．

他还指出，两个同心圆都必须由无数个点组成，尽管较大的圆似乎包含更多的点。然而，伽利略本质上回避了这个问题，并勉强得出结论，像“少”、“等于”和“大”这样的概念只能应用于有限的数字集，而不能应用于无限的数字集。然而，康托尔并不满足于这种妥协。

康托尔用双射或一一对应来比较无限集的方法

康托的出发点是，如果1和1相加，或者25和25相加，等等，那么无穷大和无穷大相加也应该是可能的。他意识到实际上可以加减无穷大，在通常认为的无穷大之外还存在着另一个更大的无穷大，然后还有其他无穷大。事实上，他证明了可能存在无限多组无限大的数——无限大中的无限大——有些比另一些大，这一概念显然具有哲学意义，也具有数学意义。康托的大胆理论在数学界掀起了一场无声的革命，永远地改变了人们研究数学的方式。

在19世纪70年代早期，他第一次意识到这一点，当时他考虑了一个无穷级数的自然数(1,2,3,4,5，…)，然后是一个无穷级数的10的倍数(10,20,30,40,50，…)。他意识到，尽管10的倍数显然是自然数的子集，但这两个级数可以一对一地配对(1和10,2和20,3和30，等等)——这个过程被称为双射——以表明它们是无限集的相同“大小”，因为它们具有相同数量的元素。

这显然也适用于自然数的其他子集，如偶数2、4、6、8、10等，或平方1、4、9、16、25等，甚至适用于负数和整数的集合。事实上，康托意识到，他可以用同样的方式，甚至把所有的分数(或有理数)与所有的整数配对，从而表明有理数也和自然数一样是无限大，尽管直觉上感觉分数肯定比整数多。

康托的对角线论证

康托关于不可数集存在性的对角线论证

然而，当康托考虑无限级数的十进制数，其中包括无理数，如π，e和√2时，这种方法就失效了。他使用了几个聪明的参数(其中一个是右边方框中解释的“对角线参数”)来说明如何总是可以构造一个原始列表中所缺少的新的十进制数，从而证明十进制数(或者，技术上说，实数)的无限大实际上比自然数的无限大。

Aleph Null或者Aleph Nought

他还表明，他们是“non-denumerable或"不可数的(即包含的元素多得无法计数)，而不是他所证明的有理数在技术上(即使不是实际上)是“可数的”或“可数的”。事实上，可以认为在每一个有理数之间都有无限个无理数。无理数的无模式小数填充有理数模式之间的“空间”。

康托创造了新词"超限，他试图将这些不同层次的无限数字与绝对无限区分开来，而笃信宗教的康托尔实际上把绝对无限等同于上帝(他认为他的数学与传统的上帝概念之间没有矛盾)。尽管有限集的基数(或大小)只是一个表示集合中元素数量的自然数，但他还需要一个新的符号来描述无限集的大小，他使用了希伯来字母aleph ()．他的定义₀(alalpha -null或alalpha -nought)作为可计数的无限自然数集合的基数;₁(aleph- 1)作为下一个更大的基数，即不可数序数集的基数;等。由于无限集的独特性质，他证明了这一点₀+₀＝₀，还有₀x₀＝₀．

所有这些都代表了革命性的一步，为数学开辟了新的可能性。然而，它也开启了其他无穷大存在的可能性，例如，在整数的无穷大和十进制数的更大无穷大之间存在一个无穷大——甚至是许多无穷大。这个想法被称为连续统假设，康托相信(但实际上不能证明)不存在这样的中间无限集。连续统假设是由大卫希尔伯特在他著名的1900年巴黎演讲中，它一直没有被证明，实际上似乎是无法被证明的，在将近一个世纪里，直到保罗•科恩在20世纪60年代。

现代集合论符号

然而，同样重要的是，康托尔在1874年至1884年之间的这部作品标志着集合论的真正起源，集合论自此成为现代数学的一个基本组成部分，其基本概念在所有数学分支中都得到了应用。尽管集合的概念从数学开始就被隐式地使用，可以追溯到亚里士多德的思想，但这仅限于日常的有限集。与此相反，“无限”被完全分开，并且在很大程度上被认为是哲学而不是数学讨论的话题。然而，康托指出，正如存在不同的有限集一样，也可以存在大小不同的无限集，其中一些是可数的，一些是不可数的。

在整个19世纪80年代和90年代，他完善了他的集合理论，定义了良序集和幂集，并引入了序数和基数的概念以及无限集的算术。现在我们所知的康托尔定理一般地说明了，对于任何集合一个的幂集一个的所有子集的集合一个)的基数严格大于一个本身。更具体地说，可数无穷集的幂集是不可数无穷。

尽管集合论在现代数学中处于中心地位，但它经常受到当时其他数学家的严重不信任和误解。亚搏.apk一个引用，通常归因于亨利。庞加莱他声称“后人将把Mengenlehre(集合论)视为一种已经康复的疾病”。然而，其他人很快就看到了这种方法的价值和潜力大卫希尔伯特在1926年宣布“谁也不能把我们驱逐出康托创造的天堂”。

康托很少有其他数学家可以与他讨论他的开创性亚搏.apk工作，大多数人显然对他对无限的思考感到不安。在19世纪80年代，他遇到了阻力，有时是激烈的阻力，来自数学同时代的人，比如他的老教授利奥波德·克罗内克和亨利。庞加莱还有路德维希·维特根斯坦(Ludwig Wittgenstein)等哲学家，甚至还有一些基督教神学家，他们认为康托尔的作品挑战了他们对上帝本质的看法。康托本人是一个虔诚的宗教信徒，他注意到自己的作品中提出了一些令人讨厌的悖论，但有些人走得更远，认为这是对整个数学所基于的可理解和逻辑基础的蓄意破坏。

随着年龄的增长，康托的精神疾病越来越多地复发，有些人认为这与他不断思考这些复杂、抽象和矛盾的概念直接相关。在他生命的最后几十年里，他根本没有做过任何数学工作，而是大量地写了他的两个痴迷:莎士比亚的戏剧实际上是由英国哲学家弗朗西斯·培根爵士写的，以及基督是亚利马太的约瑟夫的亲生儿子。他在黑尔疗养院度过了很长一段时间，从躁狂抑郁症和妄想症的发作中恢复过来。1918年，他最终独自一人在房间里去世，他的伟大事业仍未完成。

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