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格奥尔格·康托——创立集合理论的人

传记

Georg康托尔

Georg康托尔(1845 - 1918)

德国Georg康托尔是一位杰出的小提琴家,但更是一位杰出的数学家。他出生在俄罗斯的圣彼得堡,在那里一直生活到11岁。此后,全家移居德国,康托在达姆斯特拉特(Darmstradt)、Zürich、柏林和(几乎不可避免地)Göttingen接受了他的剩余教育,然后在黑尔大学(University of Halle)结婚并定居下来,他将在那里度过余生。

他在34岁时就成为了黑尔大学的正教授,这是一个显著的成就,但他想去更有声望的大学,比如柏林,的雄心在很大程度上受到了利奥波德·克罗内克的阻挠,克罗内克是数学界的知名人物,也是康托的前教授,根本不同意康托尔作品的主旨。

无限的意义

康托的前十篇论文是关于数论的,之后他把注意力转向了微积分(或当时被称为分析),解决了一个棘手的开放问题,即三角级数表示函数的唯一性。然而,他的主要遗产或许也是如此第一个真正理解无限意义的数学家并赋予它数学上的精确度。

早在17世纪,伽利略就曾试图直面无限的概念,以及通过比较不同的无限而产生的明显矛盾,但最终却回避了这个问题。

他表明,一一对应的所有自然数之间可以和所有的自然数的平方到正无穷,表明只有尽可能多的平方数整数,即使它是直观有许多整数没有广场,一个被称为概念伽利略的悖论

他还指出,两个同心圆都必须由无数个点组成,即使较大的圆似乎包含更多的点。然而,伽利略从本质上回避了这个问题,并勉强得出结论,像“少”、“等”和“大”这样的概念只能应用于有限的数集,而不能应用于无限的数集。然而,康托尔并不满足于这种妥协。

康托尔用双射或一对一对应比较无限集的方法

康托尔用双射或一对一对应比较无限集的方法

康托的出发点是说,如果1和1,或者25和25,等等可以相加,那么∞和∞也应该可以相加。他意识到,实际上是可以加减无穷大的,在通常认为的无穷大之外,还有另一个更大的无穷大,在这个无穷大之外还有其他无穷大。事实上,他证明了可能存在无限多的无限数集——无限的无限——一些比另一些更大,这个概念显然具有哲学意义,也具有数学意义。康托尔大胆的理论在数学界引发了一场无声的革命,永远改变了数学研究的方式。

19世纪70年代初,他对这一切的首次暗示出现在他考虑自然数的无限级数(1、2、3、4、5,……)和10的无限倍数(10、20、30、40、50,……)的时候。他意识到,即使十的倍数显然是自然数的一个子集,这两个系列可以在一对一的基础上配对(1和10 2和20 3 30,等等),这一过程称为双向映射,证明他们是相同的“大小”的无限集,有相同数量的元素。

这显然也适用于自然数的其他子集,如偶数2、4、6、8、10等,或平方数1、4、9、16、25等,甚至是负数和整数的集合。事实上,康托尔意识到,同样的,甚至把所有的分数(或有理数)所有的整数,因此表明有理数也同样的无穷自然数,尽管直观感觉比整数必须有更多分数。

康托对角线的论点

不可数集存在性的康托对角论证

不可数集存在性的康托对角论证

然而,当康托考虑一个无限的小数序列,其中包括无理数,比如π,e和√2,这种方法失败了。他使用了几个聪明的参数(一个是右边方框中解释的“对角线参数”),来说明如何总是能够构造出原来列表中缺失的一个新的十进制数,从而证明了十进制数的无穷(或者,严格地说,实数)实际上比无限的自然数还要大。

Aleph Null或Aleph Null

他还证明了non-denumerable”或“不可数的(即包含的元素多到数不清),而不是他所指出的一组有理数在技术上(即使在实践中)是“可数的”或“可数的”。事实上,我们可以说,在每一个有理数和每一个有理数之间都有无数个无理数。无理数的无模式小数填充有理数模式之间的“空间”。

康托创造了一个新词"超限,试图将这些不同层次的无限数与绝对无限区分开来,宗教康托尔有效地将绝对无限等同于上帝(他认为自己的数学与传统的上帝概念之间没有矛盾)。虽然有限集的基数(或大小)只是一个表示集合中元素数量的自然数,但他也需要一个新的符号来描述无限集的大小,他使用了希伯来字母aleph ( 阿莱 ).他的定义 阿莱 0(alephi -null或alephi -nought)作为可数无限自然数集的基数; 阿莱 1(alpha - 1)作为下一个较大的基数,即不可数序数集的基数;等。由于无穷集的独特性质,他证明了这一点 阿莱 0+ 阿莱 0 阿莱 0,还有 阿莱 0x 阿莱 0 阿莱 0

所有这些都代表了革命性的一步,并为数学开辟了新的可能性。然而,它也开启了其他无穷大的可能性,例如一个无穷大——甚至许多无穷大——在整数的无穷大和小数的更大的无穷大之间。这个想法被称为连续统假说,康托相信(但实际上无法证明)不存在这样的中间无限集。连续统一体假说是由大卫希尔伯特在他1900年的巴黎演讲中,这一观点一直没有得到证实——事实上似乎是无法证实的——将近一个世纪,直到保罗•科恩在1960年代。

现代集论符号

现代集论符号

同样重要的是,康托在1874年到1884年间的作品标志着集合论的真正起源,它已经成为现代数学的基本组成部分,它的基本概念被应用于数学的各个分支。尽管集合的概念从数学开始就被含蓄地使用,可以追溯到亚里士多德的思想,但这仅限于日常有限集。与此相反,“无限”被完全分开,并在很大程度上被认为是哲学而不是数学讨论的主题。然而,康托证明了,就像存在不同的有限集一样,也可能存在大小不同的无限集,其中一些是可数的,一些是不可数的。

在整个19世纪80年代和90年代,他完善了他的集合理论,定义了有序集和幂集,并引入了序数和基数的概念以及无限集的算术。康托定理一般认为,对于任何集合一个的幂集一个的所有子集的集合一个)的基数严格大于一个本身。更具体地说,可数无限集的幂集是不可数无限集。

尽管集合论在现代数学中处于中心地位,但它经常被当时的其他数学家深深怀疑和误解。亚搏.apk一句引言,通常被认为是亨利。庞加莱他说,“后人会把门genlehre(集合理论)视为一种疾病,一个人会从中康复”。然而,其他人很快就看到了这种方法的价值和潜力,并且大卫希尔伯特1926年宣布,“没有人会把我们赶出康托创造的天堂”。

康托几乎没有其他数学家可以与他讨论他的开创亚搏.apk性工作,而且大多数人显然对他对无限的沉思感到不安。在19世纪80年代,他遇到了阻力,有时是激烈的阻力,来自数学的同时代人,比如他的老教授利奥波德·克罗内克亨利。庞加莱还有路德维希·维特根斯坦(Ludwig Wittgenstein)等哲学家,甚至一些基督教神学家,他们认为康托的作品是对他们对上帝本质的看法的挑战。康托本人,一个笃信宗教的人,注意到他自己的作品中出现了一些恼人的悖论,但有些人更进一步,认为这是在蓄意破坏整个数学赖以存在的可理解的和逻辑的基础。

随着年龄的增长,康托的精神疾病越来越多地复发,有些疾病与他对这些复杂、抽象和矛盾概念的不断思考直接相关。在他生命的最后几十年里,他根本没有做过任何数学研究,但他写了大量关于他痴迷的两件事:莎士比亚的戏剧实际上是由英国哲学家弗朗西斯·培根爵士写的,以及基督是亚利马太的约瑟夫的亲生儿子。他在哈雷疗养院度过了很长一段时间,从狂躁抑郁症和妄想症的袭击中恢复,就是在那里,独自一人在他的房间里,他终于在1918年去世了,他的伟大工程仍未完成。


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