20世纪数学

数学领域

的20世纪延续了这一趋势19在数学中增加泛化和抽象，其中公理的概念是"不证自明的真理的问题在很大程度上被抛弃了，取而代之的是强调一致性和完整性等逻辑概念。

它还看到数学成为一种主要的职业每年涉及数千个新的博士学位和教学和工业工作，并发展了数百个专业领域和研究领域，如群论、结理论、束理论、拓扑、图论、泛函分析、奇点理论、突变理论、混沌理论、模型理论、范畴理论、博弈论、复杂性理论等等。

的古怪的英国数学家G.H.哈迪和他年轻的印度人protégéSrinivasa Ramanujan他们是美国最伟大的数学家之一亚搏.apk20世纪初他们致力于解决上个世纪的问题，比如黎曼假设。虽然他们很接近，但他们也被最棘手的问题打败了，但是哈代他被认为改革了当时已经陷入低谷的英国数学，而Ramanujan证明了自己是本世纪最聪明的人之一(尽管有些散漫和不稳定)。

其他人则采用了几千年前的技术，但达到了20世纪的复杂水平。1904年，约翰·古斯塔夫·赫尔墨斯完成了一个65,537条边的正多边形(2¹⁶+ 1)，使用只是一个指南针和直边作为2021亚博最新 他花了十多年才完成的壮举。

20世纪早期也见证了数学逻辑领域的兴起，建立在Gottlob Frege的早期进展之上，这些进展在Giuseppe Peano, L.E.J. Brouwer，大卫希尔伯特,特别是伯特兰·罗素和A.N.怀特海，他的不朽的合作作品“数学原理这句话对数学和哲学逻辑主义影响很大。

希尔伯特1900年在巴黎演讲的部分文字记录，他在演讲中列出了他的23个问题

这个世纪始于1900年夏天在巴黎索邦大学举行的一次历史性会议，这次会议在很大程度上是因为这位年轻的德国数学家的演讲而被铭记大卫希尔伯特在这本书中，他列出了他认为当时最大的23个尚未解决的数学问题。这些“希尔伯特问题”有效地为20世纪的数学制定了议程，并为后来的几代数学家提出了挑战。亚搏.apk在这最初的23个问题中，现在有10个已经解决，7个已经部分解决，2个(黎曼假设和关于阿贝尔扩展的克罗内克-韦伯定理)仍然悬而未决，剩下的4个过于松散，无法确定是否已经解决。

希尔伯特他本人是一位杰出的数学家，提出了几个定理和一些全新的数学概念，并监督发展了一种全新的抽象数学思维方式。希尔伯特他的方法标志着向现代公理方法的转变，在这种方法中，公理不被认为是不言而喻的真理。他对数学的未来始终保持乐观，在1930年的一次电台采访中，他宣称:“我们必须知道。”我们会知道的!他是19世纪上半叶数学界一位深受爱戴的领袖。

然而,奥地利库尔特·哥德尔很快就对什么能解决，什么不能解决提出了一些非常严格的限制，并用他著名的不完备性定理颠覆了数学，证明了一个不可想象的问题——数学问题的解可能是正确的，但永远无法证明。

阿兰·图灵他最有名的成就可能是在战争期间破译了德国的谜码，他在战前的几年里一直在试图澄清和简化密码哥德尔这是相当抽象的证明。他的方法得出的一些结论可能比哥德尔，包括没有办法事先知道哪些问题是可证明的，哪些是不可证明的。但是，作为一个副产品，他的工作也导致了计算机的发展和人工智能等概念的首次考虑。

随着德国和奥地利的数学社区逐渐和故意的破坏反犹太纳粹政权在1930和40年代此后，世界数学的焦点转移到了美国，尤其是普林斯顿的高等研究院，该研究院试图在新泽西乡村重现欧洲大学的学院氛围。许多最聪明的欧洲数学家，包括赫尔曼·韦尔，约翰·冯·诺伊曼，亚搏.apk库尔特·哥德尔和阿尔伯特·爱因斯坦，从纳粹手中逃到了这个安全的避难所。

埃米·诺特是一名德国犹太人，她也被纳粹政权驱逐出了德国，被许多人(包括阿尔伯特·爱因斯坦)认为是数学史上最重要的女性。她在20世纪20年代和30年代的工作改变了抽象代数的面貌，她在代数不变量、交换环、数域、非交换代数和超复数等领域做出了重要贡献。诺特关于对称性和守恒定律之间联系的定理是量子力学和现代物理学其他方面发展的关键。

冯·诺依曼的计算机架构设计

约翰·冯·诺依曼他被认为是现代历史上最重要的数学家之一，另一位在许多领域都做出了重大亚搏.apk贡献的数学神童。除了他在量子理论方面的物理工作，在曼哈顿计划、核物理和氢弹的发展中所扮演的角色之外，他还作为博弈论的先驱而被铭记，尤其是他设计的存储程序数字计算机模型，该计算机使用一个处理单元和一个单独的存储结构来保存指令和数据，这是一种即使在今天大多数电子计算机都遵循的通用架构。

另一个美国人，克劳德·香农，被称为信息论之父，他，冯·诺依曼和阿兰·图灵他们有效地开启了20世纪的计算机和数字革命。他早期在布尔代数和二进制算术方面的工作奠定了数字电路的基础1937年的设计和更强有力的通信和信息理论的阐述1948．他还在密码学、自然语言处理和采样理论方面做出了重要贡献。

苏联数学家安德烈·科尔莫戈罗夫通常被认为是建立概率论的现代公理化基础他在该领域建立了世界领先专家的声誉。他还在拓扑学、直觉逻辑、湍流、经典力学、算法信息论和计算复杂性等领域做出了重要贡献。

安德烈·威尔是欧洲的另一名战争难民，在几次死里逃生后。他的定理使数论、代数、几何和拓扑之间建立了联系，被认为是现代数学最伟大的成就之一。他还负责成立了一个法国数学家小组，这些数学家以尼古拉斯·布尔巴基(Nicolas Bourbaki)的秘密名义撰写亚搏.apk了许多关于20世纪数学的有影响力的书籍。

也许是最伟大的继承人威尔他的遗产是亚历山大·格罗腾迪克(Alexander Grothendieck)，他是20世纪法国数学界一位富有魅力和受人爱戴的人物。格罗腾迪克是一个结构主义者，对所有数学背后隐藏的结构感兴趣1950年代他创造了一种强大的新语言，使人们能够以新的方式看待数学结构，从而在数论、几何，甚至基础物理中产生了新的解决方案。他的“方案理论允许某些人威尔而他的“拓扑理论”则与数学逻辑高度相关。此外，他还给出了黎曼-洛克定理的代数证明，并给出了曲线基群的代数定义。尽管，在1960年代当格罗滕迪克为了激进的政治而几乎放弃了数学时，他在代数几何方面的成就从根本上改变了数学的格局，也许并不亚于那些康托尔，哥德尔而且希尔伯特他被一些人认为是整个20世纪数学的主要人物之一。

保罗Erdös是20世纪数学的另一个受启发但明显非建制的人物。这位多产而著名的匈牙利数学家与数百位不同的合作者一起研究组合学、图论、数论、经典分析、近似理论、集合论和概率论等问题。作为一种幽默的致敬，根据数学家们与他合作的亲密程度，他给了他们一个“Erdös号码”。亚搏.apk他还以为解决各种悬而未决的问题(如关于等差级数的Erdös猜想)提供小额奖金而闻名，其中一些在他死后仍然有效。

Mandelbrot集合，分形最著名的例子

复杂动力学领域(由函数在复数空间上的迭代来定义)是由两个法国人Pierre Fatou和Gaston Julia在20世纪早期提出的。但它只是在七八十年代用漂亮的Julia集合的计算机绘图，特别是另一位法国数学家，Benoît Mandelbrot的Mandelbrot集合。Julia和Mandelbrot分形是密切相关的，正是Mandelbrot创造了分形一词，并被称为分形几何之父。

Mandelbrot集包含了这种形式的复二次多项式方程的重复迭代z_n＋1＝z_n²+c, (z一个数是否在复平面上x+iy)．迭代产生了一种基于递归的反馈形式，在这种形式中，较小的部分表现出整体的近似缩小的副本，并且无限复杂(因此，无论人们如何放大和放大一个部分，它都表现出同样多的复杂性)。

保罗•科恩他是第二代犹太移民的一个例子，他们追逐着美国梦获得了名声和成功。他证明了这一点，在20世纪60年代震动了数学界康托尔的连续统假设，关于无限集的可能大小(其中之一希尔伯特的23个问题)既为真又为假，并且实际上存在两个完全独立但有效的数学世界，在一个世界中连续统假设为真，在另一个世界中则不是。由于这个结果，所有的现代数学证明都必须插入一个声明，声明这个结果是否依赖于连续统假设。

的另一个希尔伯特美国的问题终于在1970年得到解决，当年轻的俄罗斯人尤里Matiyasevich最终证明希尔伯特第10个问题是不可能的，即没有一般的方法来确定多项式方程何时具有整数解。在得出他的证明时，Matiyasevich建立在美国数学家数十年工作的基础上茱莉亚•罗宾逊这是冷战高潮时期国际主义的一次伟大展示。

除了复杂动力学，电子计算机的出现使另一个领域受益颇多，特别是因为它能够对简单的数学公式进行大量的重复迭代，而用手工来做是不现实的，这就是混沌理论。混沌理论告诉我们，一些系统似乎表现出随机行为，即使它们根本不是随机的，相反，一些系统可能有大致可预测的行为，但从根本上说，在任何细节上都是不可预测的。混沌系统可能具有的行为也可以用图形来映射，人们发现这些映射被称为“奇怪吸引子，在本质上是分形的(你越放大，就能看到越多的细节，尽管整体模式保持不变)。

现代混沌理论的早期先驱是爱德华·洛伦兹(Edward Lorenz)，他对混沌的兴趣来自于他在天气预测方面的工作。洛伦兹的发现出现了1961当时，他一直在运行的计算机模型实际上是用三位数而不是六位数保存的，这个微小的舍入误差产生了截然不同的结果。他发现初始条件的微小变化会导致长期结果的巨大变化——他将这种现象称为“蝴蝶效应”——他用洛伦兹吸引子证明了这一点，这是一种分形结构，对应于洛伦兹振子(一种表现出混沌流的三维动力系统)的行为。

四色地图的例子

1976年，四色理论得到了证明这是肯尼斯·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯提出的第一个用计算机证明的大定理。四色猜想最早提出于1852年由弗朗西斯·格斯里创作(奥古斯都·德·摩根的学生)，并指出，在将一个平面划分为相邻区域的任何给定分割(称为“地图”)中，这些区域最多可以使用四种颜色来着色，因此没有两个相邻区域具有相同的颜色。1879年阿尔弗雷德·肯普给出了一个证明，但1890年珀西·希伍德在证明五色定理时证明了这个证明是不正确的。最终证明只有四种颜色就足够了，这要难得多。阿佩尔和哈肯的解决方案需要大约1200个小时的计算机时间来检查大约1500个配置。

同样是在20世纪70年代，折纸被认为是一种严肃的数学方法，在某些情况下，折纸比其他方法更强大2021亚博最新 几何学。1936年，玛格丽特·皮亚佐拉Beloch展示了如何将一段纸折叠得到其长度的立方根，但事实并非如此直到1980年一种折纸方法被用来解决"立方体加倍这个问题已经击败了古代希腊几何学家。折纸证明了同样难解的"三分角问题接着出现了1986．日本折纸专家羽贺和夫至少有三个数学定理，他非传统的折纸技术展示了许多意想不到的几何结果。

英国数学家安德鲁·怀尔斯最终证明费马中的所有数的最后定理1995大约350年后的今天费马最初的姿势。这是怀尔斯早年就立志要取得的成就，并坚持不懈地追求了多年。但实际上，这是几个步骤的共同努力，涉及许多数学家，包括志村五郎、谷山丰、格哈德·弗雷、让-皮埃尔·塞尔和肯·里贝，怀尔斯提供了链接和最终的综合，特别亚搏.apk是半稳定椭圆曲线谷山-志村猜想的最终证明。证据本身就有100多页。

最近被证明的伟大猜想是Poincaré猜想，该猜想在2002年被解决(100多年后)庞加莱第一个提出这个问题的人是古怪而隐居的俄罗斯数学家格里高利。然而，佩雷尔曼拒绝了100万美元的奖金，他说:“如果证明是正确的，那么就不需要其他的认可了。”佩雷尔曼和他的母亲住在圣彼得堡的郊区。这个猜想，现在是一个定理，它指出，如果一个连通的、有限的、无边界的三维空间中的一个环可以连续地收紧到一点，就像在二维球体上画一个环一样，那么这个空间就是一个三维球体。Perelman提供了一个优雅但极其复杂的解决方案，涉及到如何将三维形状“包装”到更高的维度。佩雷尔曼还对黎曼几何和几何拓扑学做出了里程碑式的贡献。

约翰·纳什，美国经济学家和数学家他与偏执型精神分裂症的斗争最近因好莱坞电影《美丽心灵》而广为传播，他在博弈论、微分几何和偏微分方程方面做了一些重要的工作，这些工作为人们洞察日常生活中复杂系统中支配机会和事件的力量提供了见解，如市场经济学、计算、人工智能、会计和军事理论。

的英国人约翰·霍顿·康威建立了所谓的规则人生游戏“在1970这是“细胞自动机”的早期例子，其中细胞的模式在网格中进化和生长，在计算机科学家中非常受欢迎。他对博弈论、群论、数论、几何等纯数学的许多分支都做出了重要贡献，还提出了超现实数、大反棱镜、大月光等听起来很美妙的概念，以及豆芽、哲学家的足球、索玛立方体等数学游戏。

其他基于数学的娱乐谜题在普通大众中变得更加流行，包括魔方(1974)和数独(1980)，这两种游戏都发展成全面的热潮，之前只有19世纪流行的七巧板(1817)和十五字谜(1879)。反过来，他们引起了严肃的数学家的注意，他们对探索游戏的理论极限和基础感兴趣。亚搏.apk

计算机继续帮助识别诸如梅森质数(一种比2的幂小1的质数)等现象17世纪数学)．1952年，一台被称为SWAC的早期计算机识别出2²⁵⁷-1是75年来发现的第13个梅森质数，之后又发现了几个更大的质数。

π的近似

随着的出现20世纪90年代的互联网在美国，“互联网梅森质数大搜索”(GIMPS)是一项由志愿者组成的合作项目，他们使用免费的计算机软件搜索梅森质数，该项目使发现率又一次飞跃。目前，最大的13个梅森质数都是用这种方法发现的，最大的一个(第45个梅森质数，也是已知的最大质数)是在2009年发现的，包含近1300万位数。对无理数的更精确的计算机近似值的搜索也在继续π目前的记录是小数点后5万亿位。

的P对NP问题，1971年由加拿大裔美国人斯蒂芬·库克提出是计算机科学和复杂性理论新兴领域的一个重大未解决问题，也是克莱数学研究所获得百万美元千禧年奖的另一个问题。简单地说，它要问的是，每一个可以被计算机有效地检查答案的问题，是否也可以被计算机有效地解决(或者换句话说，是否存在可以快速检查答案，但用任何直接程序都需要很长时间才能解决的问题)。这个听起来很简单的问题，通常被称为库克定理或库克-莱文定理，已经困扰数学家和计算机科学家40年了。亚搏.apkVinay Deolalikar在2010年提出的一个可能的解决方案，声称证明了P不等于NP(因此这种不可解但容易检查的问题确实存在)，已经引起了很大的关注，但尚未被计算机科学界完全接受。

的华裔美国数学家张益堂他在数论领域工作，取得了可能是自佩雷尔曼(Perelman)以来最重要的成果。佩雷尔曼在2013年证明了质数间隙的第一个有限界。

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