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20世纪数学

数学领域

数学领域

20世纪继续的趋势19在数学中越来越多的普遍化和抽象化,其中公理的概念不证自明的真理,以强调一致性和完整性等逻辑概念。

它也看到数学成为一个主要的职业包括:群论、结论、束论、拓扑学、图论、泛函分析、奇点论、突变论、混沌论、模型论、范畴论、博弈论,复杂性理论等等。

古怪的英国数学家G.H.哈迪和他年轻的印度人protégéSrinivasa Ramanujan两位伟大的数学家亚搏.apk20世纪初他们致力于解决上个世纪的问题,比如黎曼假设。尽管他们很接近,但他们也被最棘手的问题打败了,但是哈代他被认为改革了当时处于低谷的英国数学Ramanujan证明自己是本世纪最杰出的头脑之一(尽管有些散漫和不稳定)。

另一些则沿用了几千年前的技术,但其复杂性达到了20世纪的水平。1904年,约翰·古斯塔夫·赫尔墨斯完成了一个有65,537条边的正多边形的构造16+ 1),使用指南针和直边作为2021亚博最新 他花了十多年才完成这一壮举。

20世纪早期也见证了数学逻辑领域的兴起,这是建立在戈特洛布·弗雷格的早期进步的基础上的,这些进步在朱塞佩·皮阿诺、L.E.J.布劳维尔、大卫希尔伯特,特别是伯特兰·罗素和A.N.怀特黑德,他们的不朽作品《数学原理在数学和哲学逻辑上都很有影响力。

这是希尔伯特1900年巴黎演讲的一部分,他提出了他的23个问题

这是希尔伯特1900年巴黎演讲的一部分,他提出了他的23个问题

1900年夏天,在巴黎索邦大学举行了一次历史性的会议,这一会议因这位年轻的德国数学家的演讲而被人们铭记大卫希尔伯特在书中,他提出了他认为是当时最伟大的23个未解数学问题。这些“希尔伯特问题”有效地为20世纪的数学制定了议程,并为未来几代数学家提出了挑战。亚搏.apk在最初的23个问题中,10个已经解决,7个部分解决,2个(黎曼假设和关于阿贝尔扩展的克罗内克-韦伯定理)仍然是开放的,剩下的4个公式过于松散,无法确定是否已经解决。

希尔伯特他自己就是一位杰出的数学家,他提出了几个定理和一些全新的数学概念,并监督了一种全新的抽象数学思维方式的发展。希尔伯特他的方法标志着向现代公理方法的转变,在这种方法中,公理不被认为是不言自明的真理。他始终对数学的未来持乐观态度,在1930年的一次广播采访中曾有一句著名的话:“我们必须知道。”我们会知道!他是本世纪上半叶数学界深受爱戴的领袖。

然而,奥地利库尔特·哥德尔很快,他就对能够解决和不能解决的问题施加了一些非常严格的限制,并以他著名的不完备定理颠覆了数学,该定理证明了不可思议的事情——数学问题可能存在正确的解,但却永远无法被证明。

阿兰·图灵他最著名的作品可能是在战争时期破译了德国的enigma密码,而在战前的几年里,他一直在试图澄清和简化密码哥德尔这是相当抽象的证明。他的方法得出了一些结论,这些结论可能比哥德尔包括无法事先判断哪些问题是可证明的,哪些问题是不可证明的。但是,作为一个副产品,他的工作也导致了计算机的发展和人工智能等概念的最初考虑。

随着德国和奥地利的数学共同体的逐渐和蓄意的毁灭反犹太人的纳粹政权1930和1940年代在美国,世界数学的焦点转移到了美国,尤其是普林斯顿大学的高等研究院。该研究所试图在新泽西州农村地区重现旧欧洲大学的大学氛围。许多最聪明的欧洲数学家,包括赫尔曼·威尔,约翰·冯·诺伊曼,亚搏.apk库尔特·哥德尔还有阿尔伯特·爱因斯坦,为了躲避纳粹来到这个安全的地方。

埃米·诺特(Emmy Noether)是一名德国犹太人,她也被纳粹政权赶出了德国。很多人(包括爱因斯坦)都认为她是数学史上最重要的女性。她在20世纪二三十年代的工作改变了抽象代数的面貌,在代数不变量、交换环、数域、非交换代数、超复数等领域做出了重要贡献。关于对称定律和守恒定律之间联系的诺特定理是量子力学和现代物理学其他方面发展的关键。

冯·诺伊曼的计算机架构设计

冯·诺伊曼的计算机架构设计

约翰·冯·诺依曼被认为是现代历史上最重要的数学家之一,另一个数学神童,后来在许多领域亚搏.apk做出了重大贡献。除了他在量子理论方面的物理工作,以及他在曼哈顿计划、核物理和氢弹的发展中所扮演的角色,他尤其被铭记为博弈论的先驱,尤其是他设计的存储程序数字计算机模型,它使用一个处理单元和一个单独的存储结构来保存指令和数据,这是即使在今天大多数电子计算机都遵循的通用结构。

另一个美国人,克劳德·香农,被称为信息理论之父,他,冯·诺伊曼和阿兰·图灵他们之间有效地开启了20世纪的计算机和数字革命。他早期在布尔代数和二进制算术方面的工作为他奠定了数字电路的基础1937年设计以及更有力的交流和信息理论的阐述1948.他在密码学、自然语言处理和采样理论方面也做出了重要贡献。

苏联数学家安德烈·柯尔莫戈罗夫(Andrey Kolmogorov)通常被认为是奠定了20世纪30年代概率论的现代公理基础他在该领域确立了世界领先专家的声誉。他在拓扑、直觉逻辑、湍流、经典力学、算法信息理论和计算复杂性等领域也做出了重要贡献。

安德烈·威尔是另一个从欧洲战争中逃出来的难民,在几次死里逃生之后。他的定理使数论、代数、几何和拓扑之间建立了联系,被认为是现代数学最伟大的成就之一。他还建立了一个法国数学家小组,这个小组以尼古拉斯·布尔巴基(Nicolas Bourbaki)的笔名秘密撰写了许多亚搏.apk关于20世纪数学的有影响力的著作。

也许是最伟大的继承人威尔他的遗产是亚历山大·格罗腾迪克,一位20世纪法国数学界魅力非凡且深受爱戴的人物。格罗腾迪克是一个结构主义者,他对隐藏在数学之下的结构很感兴趣1950年代他创造了一种强大的新语言,使数学结构以一种新的方式被看到,从而使数论、几何、甚至基础物理都有了新的解决方案。他的“理论方案允许某些威尔他的“拓扑论”与数学逻辑有着高度的相关性。此外,他还给出了黎曼-罗赫定理的代数证明,并给出了曲线基群的代数定义。尽管如此,后1960年代格罗腾迪克为了激进的政治而放弃了数学,他在代数几何学上的成就从根本上改变了数学的面貌,也许不亚于他的成就康托尔哥德尔希尔伯特他被一些人认为是整个20世纪数学的主要人物之一。

保罗Erdös是20世纪另一位颇受启发但明显未确立地位的数学人物。这位多产的著名匈牙利数学家与数百位不同的合作者一起研究组合学、图论、数论、经典分析、近似理论、集合理论和概率论等方面的问题。作为一种幽默的致敬,一个“Erdös数字”被授予数学家,根据他们与他的合作程度。亚搏.apk他还以奖励解决各种未解决问题(如Erdös算术级数猜想)而闻名,其中一些问题在他死后仍然活跃。

曼德勃洛特集,最著名的分形例子

曼德勃洛特集,最著名的分形例子

复杂动力学领域(定义为复数空间上的函数迭代)是由两位法国人Pierre Fatou和Gaston Julia在20世纪早期提出的。但它只在1970年代和1980年代用漂亮的计算机绘制了朱莉娅集,尤其是另一位法国数学家Benoît曼德尔布罗特的曼德尔布罗特集。Julia和Mandelbrot分形关系密切,是Mandelbrot创造了分形这个词,并被称为分形几何学之父。

Mandelbrot集合涉及到这种形式的复二次多项式方程的重复迭代zn+ 1zn2+c, (z复数平面中的数字是这个形式吗x+iy).迭代产生了一种基于递归的反馈形式,其中较小的部分显示出整体的近似缩小副本,并且是无限复杂的(因此,无论如何放大和放大一个部分,它也显示出同样的复杂性)。

保罗•科恩是第二代犹太移民的一个例子,他们追随美国梦而成名和成功。他的研究成果在20世纪60年代震撼了数学世界,他证明了这一点康托尔关于无限集可能大小的连续统假设(其中之一)希尔伯特并且存在两个完全独立但有效的数学世界,一个连续统假说是正确的,另一个则不是。由于这个结果,所有的现代数学证明都必须插入一个声明,说明这个结果是否取决于连续统假设。

的另一个希尔伯特1970年,美国的问题终于解决了当少年俄尤里Matiyasevich最后证明了希尔伯特第十个问题是不可能的,也就是说,没有通用的方法来确定多项式方程何时有一个整数解。为了得到他的证明,Matiyasevich建立在这位美国数学家数十年的研究基础上茱莉亚•罗宾逊这是冷战高潮时期国际主义的一次伟大展示。

除了复杂动力学之外,另一个从电子计算机的出现中受益匪浅的领域是混沌理论,特别是它能够对简单的数学公式进行大量的重复迭代,而用手工是不现实的。混沌理论告诉我们,有些系统似乎表现出随机行为,尽管它们根本不是随机的,相反地,有些系统可能有大致可预测的行为,但从根本上说,在任何细节上都是不可预测的。混沌系统可能具有的行为也可以被映射到图形上,人们发现这些映射被称为“奇怪吸引子,在本质上是分形的(你放大得越多,可以看到的细节就越多,尽管整体图案保持不变)。

现代混沌理论的一位早期先驱是爱德华·洛伦茨,他对混沌的兴趣偶然地来自于他在天气预测方面的工作。洛伦茨的发现得到了证实1961,当他运行的计算机模型实际上是用三位数而不是他一直使用的六位数保存时,这个微小的舍入误差产生了截然不同的结果。他发现,初始条件的小变化可以产生长期结果的大变化——他用“蝴蝶效应”一词来描述这种现象——他用洛伦兹吸引子证明了这一点,与洛伦兹振荡器行为相对应的分形结构(表现出混沌流的三维动力学系统)。

四色地图的例子

四色地图的例子

1976年,四色理论得到了证明这是第一个用计算机证明的重要定理。四色猜想最早是在公元1852年弗朗西斯·格思里(奥古斯都·德·摩根(Augustus De Morgan)的学生),并指出,在任何给定的平面分割成连续区域(称为“地图”)时,这些区域最多可以使用四种颜色着色,这样就不会有两个相邻的区域有相同的颜色。1879年阿尔弗雷德·肯普给出了一个证明,但1890年珀西·希伍德证明了五色定理,证明了这个证明是错误的。要想最终证明只有四种颜色就足够了,却变得相当困难。阿佩尔和哈肯的解决方案需要1200小时的计算机时间来检查大约1500个配置。

同样在20世纪70年代,折纸被认为是一种严肃的数学方法,在某些情况下比2021亚博最新 几何学。1936年,玛格丽塔·皮亚佐拉贝洛赫曾经展示过如何将一张纸折出其长度的立方根,但他没有直到1980年用折纸的方法来解决翻倍立方体“击败了古代的问题希腊几何学家。同样棘手的折纸证明"三等分角问题随之而来1986.日本折纸专家羽贺一雄(Kazuo Haga)至少有三个数学定理,他非常规的折叠技术展示了许多意想不到的几何结果。

英国数学家安德鲁·怀尔斯最终证明了这一点费马中的所有数的最后定理1995大约350年后费马的初始姿势。这是怀尔斯早年就定下的目标,并坚持多年追求的一项成就。实际上,这是几个步骤的共同努力,包括志村五郎,谷山丰,格哈德·弗雷,让-皮埃尔·塞雷和肯·里贝,包括怀尔斯提供的联系和最终的综合,具体来说,亚搏.apk半稳定椭圆曲线谷山-志村猜想的最终证明。证据本身长达100多页。

最近被证明的伟大猜想是Poincaré猜想,它在2002年(100多年后)被解决庞加莱首先提出的),由古怪和隐居的俄罗斯数学家格里高利。佩雷尔曼和母亲住在圣彼得堡郊区,过着简朴的生活。他拒绝了100万美元的奖金,声称“如果证明是正确的,那么就不需要其他的奖励了”。这个猜想(现在变成了一个定理)是这样的:如果在连通的、有限的、无边界的三维空间中,一个环可以像画在二维球体上的环一样,连续收紧到一点,那么这个空间就是一个三维球体。佩雷尔曼提供了一种优雅但极其复杂的解决方案,涉及到三维形状可以在更高维度中“包裹”的方法。佩雷尔曼在黎曼几何和几何拓扑学方面也做出了里程碑式的贡献。

约翰·纳什,美国经济学家和数学家他与偏执型精神分裂症的斗争最近因好莱坞电影《美丽心灵》而广为传播,他在博弈论、微分几何和偏微分方程方面做了一些重要的工作,这些工作为我们深入了解日常生活中复杂系统中支配机会和事件的力量提供了见解,比如在市场经济、计算、人工智能、会计和军事理论方面。

英国人约翰·霍顿·康威为所谓的"生命的游戏“在1970它是“细胞自动机”的早期例子,细胞的模式在网格中进化和生长,在计算机科学家中非常受欢迎。他对纯数学的许多分支,如博弈论、群论、数论和几何,都做出了重要的贡献。他还提出了一些听起来很棒的概念,如超现实数字、大反棱镜和巨大的月光,以及数学游戏,如Sprouts,哲学家的足球和唆麻方块。

其他数学为基础的休闲游戏在普通大众中变得更加流行,包括魔方(1974)和数独(1980),这两种游戏都发展到只有19世纪的七巧板(1817)和十五字谜(1879)才达到的狂热程度。反过来,它们又引起了对探索游戏的理论极限和基础感兴趣的严肃数学家的注意。亚搏.apk

计算机继续帮助识别诸如梅森质数(一种比2的幂小1的质数)这样的现象17世纪数学).1952年,一台被称为SWAC的早期计算机识别出2257-1是第13个梅森素数,这是75年来发现的第一个新素数,之后又发现了几个更大的。

近似为π

近似为π

随着。的出现20世纪90年代的互联网“大互联网梅森素数搜索”(GIMPS)是一个由志愿者组成的合作项目,他们使用免费的计算机软件来搜索梅森素数。该项目使梅森素数的发现率又一次飞跃。目前,13个最大的梅森质数都是通过这种方法发现的,其中最大的(第45个梅森质数,也是已知的所有质数中最大的)是在2009年发现的,包含近1300万位数。对无理数的搜索还在继续,以获得更精确的计算机近似π,目前的记录是小数点后5万亿位。

P对NP问题,由美籍加拿大人斯蒂芬·库克于1971年提出这是计算机科学和新兴的复杂性理论领域中一个尚未解决的主要问题,也是克莱数学研究所千禧年奖的另一个百万美元问题。在其最简单的,它要求每一个问题的解决方案是否可以有效地检查由计算机也可以有效地解决了由计算机(换句话说,是否存在问题的回答可以快速检查,但是这需要一个不可能长时间解决任何直接的过程)。这个听起来很简单的问题,通常被称为库克定理或库克-莱文定理,已经让数学家和计算机科学家困惑了40年。亚搏.apkVinay Deolalikar在2010年提出了一种可能的解决方案,声称可以证明P不等于NP(因此这种不可解决但易于检查的问题确实存在),这引起了很多关注,但尚未被计算机科学界完全接受。

美籍华裔数学家张一堂佩雷尔曼(Perelman)在2013年证明了质数之间的间隙的第一个有限界,这可能是他取得的最重要的成果。


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