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保罗·科恩:集论与连续统假说

保罗•科恩

保罗·科恩(1934 - 2007)

保罗•科恩是新一代的吗美国数学家亚搏.apk灵感来自战争年代欧洲流亡者的涌入他本人是第二代犹太移民,但他非常聪明,雄心勃勃。凭借纯粹的智慧和意志力,他为自己赢得了名声、财富和最高的数学奖。

他是在纽约,布鲁克林和芝加哥大学接受教育之后,他开始在斯坦福大学(Stanford University)担任教授。他后来获得了著名的菲尔兹数学奖,以及美国国家科学奖章和Bôcher数学分析纪念奖。他的数学兴趣非常广泛,从数学分析和微分方程到数学逻辑和数论。

在20世纪60年代初,他认真地致力于第一个希尔伯特的23个问题列表,康托尔是否存在一组比所有自然数(或整数)大但比实数(或小数)小的数。康托尔确信答案是“不”,但无法令人满意地证明这一点,此后任何致力于这个问题的人也无法证明这一点。

泽梅洛-弗伦克尔公理和选择公理的几种替代公式之一

泽梅洛-弗伦克尔公理和选择公理的几种替代公式之一

从那以后,已经取得了一些进展康托尔.在1908年到1922年之间,恩斯特·泽梅洛和亚伯拉罕·弗伦克尔发展了公理化集理论的标准形式,这后来成为最常见的数学基础,被称为泽梅洛-弗伦克尔集理论(ZF,或被选择公理修改为ZFC)。

库尔特·哥德尔在1940年证明了连续统假设与ZF是一致的,并且即使采用选择公理,连续统假设也无法从标准的zermelo - frankel集合理论中被证伪。因此,科恩的任务是证明连续统假设独立于(或不独立于)ZFC,并具体证明选择公理的独立性。

迫使技术

科恩的非凡和大胆的结论,得出了使用他开发的新技术他被称为“迫使,即两个答案都可能是正确的,即连续统假设和选择公理是完全正确的独立于ZF集合理论.因此,可能存在两种不同的、内在一致的数学:一种是连续统假设为真(没有这样一组数字),另一种是假设为假(有一组数字存在)。证明似乎是正确的,但科恩的方法,尤其是他的“强迫”新技术,是如此的新,以至于没有人真正确定,直到哥德尔终于在1963年批准了。

他的发现是革命性的哥德尔自己的。从那时起,数学家们建立了两个不同的亚搏.apk数学世界,一个适用连续统假设,另一个不适用,现代数学证明必须插入一个声明,声明结果是否取决于连续统假设。

科恩改变的我们的证据给他带来了名声、财富和数学界的诸多奖项,并成为斯坦福大学和普林斯顿大学的顶尖教授。他踌躇满志,决定着手研究现代数学的圣杯,希尔伯特他的第八个问题,黎曼假设。然而,直到2007年去世之前,他将生命的最后40年花在了这个问题上,仍然没有解决办法(尽管他的方法给其他人带来了新的希望,包括他杰出的学生彼得·萨尔纳克)。


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