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保罗·科恩:集合论和连续统假说

保罗•科恩

保罗·科恩(1934-2007)

保罗•科恩是新一代的美国数学家亚搏.apk灵感来自于二战期间大量涌入的欧洲流亡者。他自己是第二代犹太移民,但他非常聪明,雄心勃勃。凭借纯粹的智慧和意志力,他为自己赢得了名声、财富和最高的数学奖项。

他是在纽约、布鲁克林和芝加哥大学接受过教育他后来在斯坦福大学(Stanford University)担任教授。他后来获得了著名的数学菲尔兹奖,以及国家科学奖章和数学分析Bôcher纪念奖。他的数学兴趣非常广泛,从数学分析和微分方程到数学逻辑和数论。

在20世纪60年代初,他认真地投身于第一个希尔伯特的23个悬而未决的问题列表康托尔的连续统假设,即是否存在一组比所有自然数(或整数)的集合大但比实数(或十进制)的集合小的数。康托尔他确信答案是“不”,但无法令人满意地证明这一点,自那以后致力于这个问题的任何人也都不满意。

泽梅洛-弗朗克尔公理和选择公理的几种备选公式之一

泽梅洛-弗朗克尔公理和选择公理的几种备选公式之一

自那以后,已经取得了一些进展康托尔.大约在1908年到1922年之间,恩斯特·泽梅洛和亚伯拉罕·弗拉恩克尔发展了公理集理论的标准形式,这成为了数学最常见的基础,被称为泽梅洛-弗拉恩克尔集理论(ZF,或被选择公理修改为ZFC)。

库尔特·哥德尔在1940年证明了连续统假设与ZF是一致的,并且连续统假设不能从标准的Zermelo-Fraenkel集合论中被证伪,即使采用了选择公理。因此,科恩的任务是证明连续统假设独立于(或不独立于)ZFC,特别是要证明选择公理的独立性。

迫使技术

科恩非凡而大胆的结论,是用一种他发明的新技术他自称"迫使,即两个答案都可能为真,即连续统假设和选择公理是完全正确的独立于ZF集合论.因此,可能存在两种不同的、内在一致的数学:一种是连续统假设为真(不存在这样的一组数字),另一种是假设为假(一组数字确实存在)。证明似乎是正确的,但科恩的方法,特别是他的“强迫”新技术,太新了,以至于没有人真正确定,直到哥德尔终于在1963年批准了。

他的发现是革命性的哥德尔自己的。从那时起,数学家们建立了两个不同的亚搏.apk数学世界,一个适用连续统假设,另一个不适用,现代数学证明必须插入一个声明,声明结果是否依赖连续统假设。

科恩改变范式的证明为他带来了名誉、财富和数学奖项,他成为了斯坦福大学和普林斯顿大学的顶级教授。他因成功而兴奋,他决定攻克现代数学的圣杯,希尔伯特第八个问题,黎曼假设。然而,他花了生命的最后40年,直到2007年去世,一直在研究这个问题,仍然没有解决(尽管他的方法给其他人带来了新的希望,包括他杰出的学生彼得·萨尔纳克)。


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