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伤害gÖdel:古怪的天才

传记

库尔特·哥德尔

库尔特·哥德尔(1906 - 1978)

库尔特Gödel在维也纳长大,是一个相当奇怪、多病的孩子。从很小的时候起,他的父母就开始称他为“瓦鲁姆先生”,“为什么先生”,因为他永远无法满足的好奇心。在维也纳大学(University of Vienna), Gödel首先研究了数论,但很快就把注意力转向了数学逻辑,这在他的余生中占据了大部分时间。他年轻的时候,好像希尔伯特他乐观地相信,数学是可以重新完整起来的,并将从数学工作带来的不确定性中恢复过来康托尔黎曼

之间的战争,哥德尔加入了咖啡馆的讨论一组强烈的知识分子和哲学家称为维也纳圆,其中包括逻辑实证主义者如莫里茨重,汉斯·哈恩和鲁道夫Carnap拒绝形而上学意义并试图将所有的知识在一个科学的标准语言。

尽管Gödel并不一定认同维也纳圈的实证主义哲学观点,但正是在这种环境下,Gödel实现了解决第二个问题的梦想,或许也是最重要的一个问题希尔伯特他的23个问题试图为所有的数学找到一个逻辑基础。他提出的想法将彻底改变数学,正如他在数学和哲学上有效证明的那样希尔伯特他(和他自己)的乐观是毫无根据的,这样的基础是不可能的。

他的第一个成就,实际上是推进希尔伯特的程序,是他的完备性定理,它证明了弗雷吉斯的"一阶逻辑可以由一组简单的公理来证明。然而,他随后将注意力转向"二阶逻辑,即足够强大的逻辑来支持算术和更复杂的数学理论(本质上,能够接受集合作为变量的值)。

不完备定理

Gödel的不完全性定理不完备定理复数”,实际上有两个单独的定理,尽管他们通常所说的1931年)显示,在任何一个逻辑系统对数学(或至少任何足够强大和复杂的系统,能够描述自然数的算术,因此大多数数学家感兴趣),亚搏.apk会有一些关于数字的命题是正确的,但却永远无法被证明。这足以促使约翰·冯·诺伊曼评论道一切都结束了”。

哥德尔不完备定理

哥德尔不完备定理

他的方法从简单的语言断言开始,比如“这种说法无法证明,古代的一个版本说谎者悖论,这个命题本身要么是对的,要么是错的。如果这个命题是假的,那么这意味着这个命题可以被证明,表明它实际上是真的,从而产生一个矛盾。不过,为了让这句话在数学上有意义,Gödel需要把这句话转换成一个“正式的语言(即纯粹的算术陈述)。他使用了一种基于质数的聪明代码,质数串扮演着自然数、运算符、语法规则和形式语言的所有其他要求的角色。由此产生的数学表述,就像它的自然语言一样,是真实的,但无法证明,因此必须保持未决。

肯定不完备定理——一个数学家的噩梦——导致的危机在数学社区,提高人们对问题可能是真的,但仍是无法证实的,甚至一些没有考虑在整个两年+数学的历史。Gödel有效地一举满足了数学家们的雄心壮志亚搏.apk伯特兰·罗素大卫希尔伯特他试图为所有的数学找到一套完整而一致的公理。他的工作证明,数学家们所提出的任何逻辑或数字系统,都将始终建立在至少几个无法证明的假设之上。亚搏.apk他的结论还暗示,甚至不是所有的数学问题都是可计算的,即使在原则上,也不可能创造出一台机器或计算机,能够做人类大脑能做的所有事情。

哥德尔度规

Gödel度规的表示,爱因斯坦场方程的精确解

Gödel度规的表示,爱因斯坦场方程的精确解

不幸的是,定理也导致了Gödel的个人危机.20世纪30年代中期,他经历了一系列精神崩溃,并在疗养院度过了很长一段时间。尽管如此,他还是陷入了同样的问题,这个问题已经破坏了他的精神健康Georg康托尔在上个世纪,连续统假说。事实上,他在解决这个众所周知的难题上迈出了重要的一步(通过证明选择公理独立于有限类型理论)保罗•科恩很可能永远无法得出最终的答案。就像康托尔然而,Gödel和其他在他之后的人的身心健康也在逐渐恶化。

他是靠他一生的挚爱阿黛尔·努伯斯基维持生计的。他们一起目睹了德国和奥地利数学界被纳粹政权摧毁的事实。最终,以及其他许多著名的欧洲数学家和学者,哥德尔逃离纳粹的安全在美国普林斯顿大学,在那里他成了亲密的朋亚搏.apk友的流亡阿尔伯特·爱因斯坦,贡献一些示威的矛盾解决爱因斯坦场方程的广义相对论(包括他的庆祝Gödel 1949年的度量).

但是,即使在美国,他也无法摆脱他的恶魔,他被抑郁和偏执所困扰,遭受了几次精神崩溃。最后,他只吃妻子阿黛尔测试过的食物,1977年阿黛尔本人住院时,Gödel干脆拒绝进食,把自己饿死了。

Gödel的遗产是矛盾的.尽管他被公认为有史以来最伟大的逻辑学家之一,但许多人并不准备接受他的结论所带来的近乎虚无主义的后果,以及他对传统形式主义数学观点的颠覆。更坏的消息还在后面,尽管如此,数学界(包括,我们将会看到,阿兰·图灵)试图认真对待Gödel的研究结果。


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