萨摩斯的毕达哥拉斯

毕达哥拉斯(公元前570-495年)

毕达哥拉斯是谁

有时有人说我们的纯数学归功于毕达哥拉斯，他也经常这样说被称为第一个“真正的”数学家．但是，尽管他的贡献显然很重要，他仍然是一个有争议的人物。

他自己没有留下数学著作，我们对毕达哥拉斯思想的了解大多来自菲洛劳斯和其他后来的毕达哥拉斯学者的著作。事实上，我们并不清楚是否有许多定理(或任何定理)是由毕达哥拉斯本人或他的追随者解决的。

他在克罗顿建立的学校毕达哥拉斯将他的准宗教哲学、严格的素食主义、集体生活、秘密仪式和奇怪的规则强加给了他的学校的所有成员(包括一些奇怪而明显随意的法令，比如永远不要对着太阳撒尿、永远不要和戴金饰的女人结婚、永远不要路过躺在街上的驴，永远不要吃甚至不要碰黑色的蚕豆，等等)。

委员会成员被分为mathematikoi(或“学习者)，他扩展和发展了毕达哥拉斯自己开始的更多数学和科学工作，以及“akousmatikoi(或“听众)，他专注于他的教义中更宗教性和仪式性的方面。两派之间总是有一定程度的摩擦，最终该教派陷入了一些激烈的当地战斗，最终解散了。人们对毕达哥拉斯学派的秘密性和排他性产生了怨恨，在公元前460年，他们所有的聚会场所都被烧毁和摧毁，仅在克罗顿就有至少50名成员被杀。

毕达哥拉斯学派最重要的格言是一切都是数字或"上帝是数字毕达哥拉斯学派有效地实践了一种数字命理学或数字崇拜，认为每个数字都有自己的特征和意义。例如，数字1是所有数字的产生者;两人代表意见;三、和谐;四、正义;5、婚姻;6、创造;七，七颗行星或者"是流荡的星”;等。奇数被认为是女性，偶数被认为是男性。

毕达哥拉斯四重奏

其中最神圣的数字是“Tetractys或者10，一个由1、2、3和4组成的三角数。毕达哥拉斯学派从一个抽象的数学论证中推导出数字10的特殊位置，而不是从像数两只手的手指这样平凡的东西中推导出来，这是对他们智力成就的极大赞扬。

然而，毕达哥拉斯和他的学派——以及古希腊的其他一些数学家——在很大程度上负责引入了比以前更严格的数学，从第一性原理出发，使用公理和逻辑亚搏.apk。例如，在毕达哥拉斯之前，几何学仅仅是由经验测量得出的规则的集合。

毕达哥拉斯发现了一个完整的数学体系几何元素与数字相对应，整数和它们的比值是建立整个逻辑和真理系统所必需的。

勾股定理

他被人们记住的主要原因是毕达哥拉斯定理(或勾股定理):对于任何直角三角形，斜边(最长的边，对直角)的长度的平方等于其他两条边(或“腿”)的平方和。

写成方程:一个²+b²＝c²．

毕达哥拉斯和他的追随者没有意识到的是，这也适用于任何形状:因此，一个五边形在斜边的面积等于其他两边的五边形的和，就像它适用于一个半圆或任何其他规则(甚至不规则)形状。

毕达哥拉斯定理

毕达哥拉斯三角形最简单和最常被引用的例子是边长为3,4和5的三角形(3²+ 4²= 5²，如右图所示，可以在每边画一个单位正方形的网格)，但还有潜在的无限个其他整数。”毕达哥拉斯的三元组”,从(5、12 13),(6、8、10)(7日,24日,25),(8、15、17),(9、40、41),等等。但是需要注意的是，(6,8,10)并不是所谓的“原始”毕达哥拉斯三重数，因为它只是(3,4,5)的倍数。

毕达哥拉斯定理和直角三角形的性质似乎是继基础算术和几何之后最古老和最广泛的数学发展，它在一些最古老的数学文本中被提及巴比伦而且埃及它的历史可以追溯到一千多年前。最简单的证明之一来自古代中国，而且很可能远在毕达哥拉斯出生之前。不过，是毕达哥拉斯给出了这个定理的最终形式，虽然还不清楚毕达哥拉斯本人是否明确地证明了它，还是只是描述了它。不管怎样，它已经成为所有数学定理中最著名的定理之一，现在有多达400种不同的证明，有些是几何的，有些是代数的，有些涉及高级微分方程，等等。

然而，很明显，非整数解也是可能的，例如，边长为1,1和√2的等腰三角形也有一个直角，如巴比伦人早在几个世纪前就发现了。然而，当毕达哥拉斯的学生希帕索斯试图计算√2的值时，他发现不可能将其表示为分数，从而表明可能存在一个全新的数字世界，无理数(不能表示为整数的简单分数的数字)。这一发现打破了毕达哥拉斯和他的追随者建立的优雅的数学世界，一个不能用上帝创造的两个数字之比表示的数字的存在(这是他们对整数的看法)危及了邪教的整个信仰体系。

可怜的希帕索斯显然被神秘的毕达哥拉斯学派淹没了，因为他向外界公布了这一重要发现。但是，用更丰富的连续统概念取代整数的神性，是数学的一个重要发展。它标志着希腊几何的真正诞生，它研究的是线、面和角，所有这些都是连续的，而不是离散的。

毕达哥拉斯(或至少他的追随者，毕达哥拉斯学派)在几何学上的其他成就中，还认识到一个三角形的内角和等于两个直角(180°)，并且可能还概括了一个多边形的内角和等于两个直角(180°)n边数等于(2n- 4)直角，且它的外角和等于4个直角。他们能够构造给定区域的图形，并使用简单的几何代数，例如解方程，如一个（一个- - - - - -x) =x²用几何方法。

毕达哥拉斯学派还建立了数论的基础，他们研究了三角形、平方数和完全数(除数的和)。他们发现了平方数的几个新性质，比如一个数的平方n等于第一个的和n奇数(例如4²= 16 = 1 + 3 + 5 + 7)。他们还发现了至少第一对相容数220和284(相容数是一对数，其中一个数的因数之和等于另一个数，例如220的固有因数为1、2、4、5、10、11、20、22、44、55和110，其中的和为284;284的固有因子是1、2、4、71和142，它们的和是220)。

音乐理论

人们认为毕达哥拉斯发现了和谐的音乐音调之间的比例

毕达哥拉斯还发现了和谐音符之间的音程总是有整数比。例如，演奏吉他弦的一半长度会产生与开放弦相同的音符，但会高出八度;三分之一的长度发出不同但和谐的音符;等。

另一方面，非整数比例往往会发出不和谐的声音。这样，毕达哥拉斯描述了前四个泛音，它们创造了共同的音程，成为音乐和谐的主要组成部分:八度(1:1)，完美五度(3:2)，完美四度(4:3)和大三度(5:4)。最古老的12音半音音阶调音方法被称为毕达哥拉斯调音，它基于一堆完美的五度音阶，每个五度音阶的调音比例为3:2。

神秘的毕达哥拉斯对这一发现感到非常兴奋，他相信整个宇宙是建立在数字的基础上的，行星和恒星的运动是根据与音符相对应的数学方程式进行的，因此产生了一种交响乐，“音乐宇宙”或“天体音乐”。

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